MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numufl Unicode version

Theorem numufl 17706
Description: Consequence of filssufilg 17702: a set whose double powerset is well-orderable satifies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numufl  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  X  e. UFL )

Proof of Theorem numufl
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filssufilg 17702 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. g  e.  ( UFil `  X
) f  C_  g
)
21ancoms 439 . . 3  |-  ( ( ~P ~P X  e. 
dom  card  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  X
) f  C_  g
)
32ralrimiva 2702 . 2  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  A. f  e.  ( Fil `  X ) E. g  e.  (
UFil `  X )
f  C_  g )
4 elex 2872 . . . . 5  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  ~P ~P X  e. 
_V )
5 pwexb 4643 . . . . 5  |-  ( ~P X  e.  _V  <->  ~P ~P X  e.  _V )
64, 5sylibr 203 . . . 4  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  ~P X  e.  _V )
7 pwexb 4643 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  <->  ~P X  e.  _V )
86, 7sylibr 203 . . 3  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  X  e.  _V )
9 isufl 17704 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) E. g  e.  (
UFil `  X )
f  C_  g )
)
108, 9syl 15 . 2  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  ( X  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  X
) E. g  e.  ( UFil `  X
) f  C_  g
) )
113, 10mpbird 223 1  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  X  e. UFL )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   dom cdm 4768   ` cfv 5334   cardccrd 7655   Filcfil 17636   UFilcufil 17690  UFLcufl 17691
This theorem is referenced by:  fiufl  17707  acufl  17708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-rpss 6361  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-fin 6952  df-fi 7252  df-card 7659  df-cda 7881  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-fil 17637  df-ufil 17692  df-ufl 17693
  Copyright terms: Public domain W3C validator