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Theorem nvabs 21239
Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvabs.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvabs.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvabs.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
nvabs.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvabs  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )

Proof of Theorem nvabs
StepHypRef Expression
1 nvabs.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvabs.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 nvabs.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
4 nvabs.6 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
51, 2, 3, 4nvdif 21231 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) )
65negeqd 9046 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  -u ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) )
71, 4nvcl 21225 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
873adant2 974 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
91, 4nvcl 21225 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
1093adant3 975 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
11 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
12 neg1cn 9813 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
131, 3nvscl 21184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
1412, 13mp3an2 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
15143adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
161, 2nvgcl 21176 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X )  -> 
( B G (
-u 1 S A ) )  e.  X
)
1715, 16syld3an3 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )
18173com23 1157 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )
191, 4nvcl 21225 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
2011, 18, 19syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
2120renegcld 9210 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  RR )
221, 2nvcom 21177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) )
2318, 22syld3an3 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) )
24 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
2514adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( -u 1 S A )  e.  X
)
26 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
2724, 25, 263jca 1132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X  /\  A  e.  X ) )
281, 2nvass 21178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B  e.  X  /\  ( -u 1 S A )  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( (
-u 1 S A ) G A ) ) )
2927, 28syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( (
-u 1 S A ) G A ) ) )
30293impb 1147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( B G (
-u 1 S A ) ) G A )  =  ( B G ( ( -u
1 S A ) G A ) ) )
31 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
321, 2, 3, 31nvlinv 21212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  ( 0vec `  U
) )
33323adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G A )  =  ( 0vec `  U
) )
3433oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( ( -u
1 S A ) G A ) )  =  ( B G ( 0vec `  U
) ) )
351, 2, 31nv0rid 21193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( 0vec `  U
) )  =  B )
36353adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( 0vec `  U
) )  =  B )
3730, 34, 363eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( B G (
-u 1 S A ) ) G A )  =  B )
3823, 37eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) )  =  B )
3938fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  =  ( N `
 B ) )
401, 2, 4nvtri 21236 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( B G ( -u 1 S A ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4118, 40syld3an3 1227 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4239, 41eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  <_  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
4310recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
4420recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  e.  CC )
4543, 44subnegd 9164 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )  =  ( ( N `  A )  +  ( N `  ( B G ( -u
1 S A ) ) ) ) )
4642, 45breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  B )  <_  ( ( N `  A )  -  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
478, 10, 21, 46lesubd 9376 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( B G ( -u 1 S A ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )
486, 47eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )
49 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  A  e.  X )
501, 3nvscl 21184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
5112, 50mp3an2 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
52513adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
53 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  B  e.  X )
541, 2nvass 21178 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B )  =  ( A G ( (
-u 1 S B ) G B ) ) )
5511, 49, 52, 53, 54syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G B )  =  ( A G ( ( -u
1 S B ) G B ) ) )
561, 2, 3, 31nvlinv 21212 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S B ) G B )  =  ( 0vec `  U
) )
57563adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S B ) G B )  =  ( 0vec `  U
) )
5857oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( ( -u
1 S B ) G B ) )  =  ( A G ( 0vec `  U
) ) )
591, 2, 31nv0rid 21193 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A G ( 0vec `  U
) )  =  A )
60593adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 0vec `  U
) )  =  A )
6155, 58, 603eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G B )  =  A )
6261fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  =  ( N `  A
) )
631, 2nvgcl 21176 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
6452, 63syld3an3 1227 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )
651, 2, 4nvtri 21236 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  <_ 
( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
6664, 65syld3an2 1229 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) )  <_ 
( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
6762, 66eqbrtrrd 4045 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  A )  <_  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) )
681, 4nvcl 21225 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  RR )
6911, 64, 68syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  RR )
7010, 8, 69lesubaddd 9369 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  A )  -  ( N `  B )
)  <_  ( N `  ( A G (
-u 1 S B ) ) )  <->  ( N `  A )  <_  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  +  ( N `  B ) ) ) )
7167, 70mpbird 223 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
7210, 8resubcld 9211 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) )  e.  RR )
7372, 69absled 11913 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( abs `  (
( N `  A
)  -  ( N `
 B ) ) )  <_  ( N `  ( A G (
-u 1 S B ) ) )  <->  ( -u ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) )  /\  ( ( N `  A )  -  ( N `  B ) )  <_ 
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) )
7448, 71, 73mpbir2and 888 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( abs `  ( ( N `
 A )  -  ( N `  B ) ) )  <_  ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   abscabs 11719   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   0veccn0v 21144   normCVcnmcv 21146
This theorem is referenced by:  nmcvcn  21268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156
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