MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvcl Unicode version

Theorem nvcl 21225
Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvf.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvf.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvcl  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem nvcl
StepHypRef Expression
1 nvf.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvf.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
31, 2nvf 21224 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N : X --> RR )
4 ffvelrn 5663 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
53, 4sylan 457 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   -->wf 5251   ` cfv 5255   RRcr 8736   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   normCVcnmcv 21146
This theorem is referenced by:  nvcli  21226  nvm1  21230  nvpi  21232  nvz0  21234  nvmtri  21237  nvabs  21239  nvge0  21240  nvgt0  21241  nv1  21242  nmcvcn  21268  smcnlem  21270  ipval2lem2  21277  4ipval2  21281  ipval2lem5  21283  ipidsq  21286  ipnm  21287  ipz  21295  nmosetre  21342  nmooge0  21345  nmoub3i  21351  nmounbi  21354  nmlno0lem  21371  nmblolbii  21377  blocnilem  21382  ipblnfi  21434  ubthlem1  21449  ubthlem2  21450  ubthlem3  21451  minvecolem1  21453  minvecolem2  21454  minvecolem4  21459  minvecolem5  21460  minvecolem6  21461  hlipgt0  21493  htthlem  21497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156
  Copyright terms: Public domain W3C validator