MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvcl Unicode version

Theorem nvcl 21241
Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvf.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvf.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvcl  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem nvcl
StepHypRef Expression
1 nvf.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvf.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
31, 2nvf 21240 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N : X --> RR )
4 ffvelrn 5679 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
53, 4sylan 457 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   -->wf 5267   ` cfv 5271   RRcr 8752   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   normCVcnmcv 21162
This theorem is referenced by:  nvcli  21242  nvm1  21246  nvpi  21248  nvz0  21250  nvmtri  21253  nvabs  21255  nvge0  21256  nvgt0  21257  nv1  21258  nmcvcn  21284  smcnlem  21286  ipval2lem2  21293  4ipval2  21297  ipval2lem5  21299  ipidsq  21302  ipnm  21303  ipz  21311  nmosetre  21358  nmooge0  21361  nmoub3i  21367  nmounbi  21370  nmlno0lem  21387  nmblolbii  21393  blocnilem  21398  ipblnfi  21450  ubthlem1  21465  ubthlem2  21466  ubthlem3  21467  minvecolem1  21469  minvecolem2  21470  minvecolem4  21475  minvecolem5  21476  minvecolem6  21477  hlipgt0  21509  htthlem  21513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172
  Copyright terms: Public domain W3C validator