Theorem nvcl 8287

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number.

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	|- X = (Base` U)
nvf.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvcl	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)

Proof of Theorem nvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3814	. 2 |- ((N:X-->RR /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
2		nvf.1	. . 3 |- X = (Base` U)
3		nvf.6	. . 3 |- N = (norm` U)
4	2, 3	nvf 8286	. 2 |- (U e. NrmCVec -> N:X-->RR)
5	1, 4	sylan 448	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  -->wf 3178  ` cfv 3182  RRcr 5233  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  normcnm 8209

This theorem is referenced by:  nvcli 8288  nvm1 8292  nvpi 8294  nvz0 8296  nvmtri 8299  nvabs 8301  nvge0 8302  nvgt0 8303  nv1 8304  nmcnilem 8337  ipval2lem2 8354  4ipval2 8358  ipval2lem5 8360  ipid 8363  ipnm 8364  ipz 8372  ip1cnilem3 8375  ip1cnilem5 8377  ip1cnilem6 8378  nmosetre 8427  nmoge0 8430  nmoub3i 8436  nmounbi 8439  nmlno0lem 8453  nmblolbii 8459  blocnilem 8464  ipblnfi 8516  ubthlem5 8533  ubthlem7 8535  ubthlem8 8536  ubthlem9 8537  ubthlem10 8538  ubthlem11 8539  ubthlem12 8540  minveclem5 8549  minveclem9 8553  minveclem10 8554  minveclem14 8558  minveclem16 8560  minveclem18 8562  minveclem20 8564  minveclem21 8565  minveclem22 8566  minveclem27 8571  minveclem28 8572  minveclem30 8574  minveclem31 8575  minveclem36 8580  minveclem38 8582  minveceu 8583  hlipgt0 8616  htthlem6 8625  htthlem7 8626  htthlem8 8627  htthlem9 8628  htthlem10 8629  htthlem12 8631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain