Theorem nvcom 8240

Description: The vector addition (group) operation is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
nvgcl.1	|- X = (Base` U)
nvgcl.2	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvcom	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))

Proof of Theorem nvcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgcl.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		nvgcl.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
3	1, 2	bafval 8223	. . 3 |- X = ran G
4	3	ablcom 8103	. 2 |- ((G e. Abel /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))
5	2	nvabl 8235	. 2 |- (U e. NrmCVec -> G e. Abel)
6	4, 5	syl3an1 859	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) = (BGA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Abelcabl 8099  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205

This theorem is referenced by:  nvadd12 8242  nvpncan 8277  nvsubsub23 8282  nvdif 8293  nvpi 8294  nvabs 8301  ipcj 8367  hlcom 8602

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain