MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvelbl Structured version   Unicode version

Theorem nvelbl 22177
Description: Membership of a vector in a ball. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvelbl.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvelbl.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
nvelbl.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
nvelbl.8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
nvelbl  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  D ) R )  <->  ( N `  ( A M P ) )  <  R
) )

Proof of Theorem nvelbl
StepHypRef Expression
1 nvelbl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvelbl.8 . . . . 5  |-  D  =  ( IndMet `  U )
31, 2imsxmet 22176 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
4 rpxr 10611 . . . 4  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
53, 4anim12i 550 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  R  e.  RR* ) )
6 elbl3 18414 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( A  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( A D P )  <  R
) )
75, 6sylan 458 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  D ) R )  <->  ( A D P )  <  R
) )
8 nvelbl.3 . . . . . . 7  |-  M  =  ( -v `  U
)
9 nvelbl.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
101, 8, 9, 2imsdval 22170 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( A D P )  =  ( N `  ( A M P ) ) )
11103com23 1159 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A D P )  =  ( N `  ( A M P ) ) )
12113expb 1154 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( A D P )  =  ( N `  ( A M P ) ) )
1312adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  ( A D P )  =  ( N `  ( A M P ) ) )
1413breq1d 4214 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( A D P )  <  R  <->  ( N `  ( A M P ) )  <  R
) )
157, 14bitrd 245 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  RR+ )  /\  ( P  e.  X  /\  A  e.  X
) )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  D ) R )  <->  ( N `  ( A M P ) )  <  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    < clt 9112   RR+crp 10604   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680   NrmCVeccnv 22055   BaseSetcba 22057   -vcnsb 22060   normCVcnmcv 22061   IndMetcims 22062
This theorem is referenced by:  nvelbl2  22178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072
  Copyright terms: Public domain W3C validator