Theorem nvgcl 8239

Description: Closure law for the vector addition (group) operation of a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvgcl.1	|- X = (Base` U)
nvgcl.2	|- G = (+v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvgcl	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Proof of Theorem nvgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgcl.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		nvgcl.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
3	1, 2	bafval 8223	. . 3 |- X = ran G
4	3	grpcl 8044	. 2 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)
5	2	nvgrp 8236	. 2 |- (U e. NrmCVec -> G e. Grp)
6	4, 5	syl3an1 859	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Grpcgr 8033  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205

This theorem is referenced by:  nvmf 8266  nvsubadd 8275  nvpncan2 8276  nvaddsub4 8281  nvdif 8293  nvpi 8294  nvabs 8301  imsmetlem 8323  nvelbl2 8326  nmcnilem 8337  va1cnlem 8345  ipval2lem2 8354  4ipval2 8358  ip1cnilem2 8374  ip1cnilem3 8375  ip1cnilem5 8377  ip1cnilem6 8378  sspival 8397  lnocoi 8418  0lno 8450  ip0i 8484  ip1ilem 8485  ip2i 8487  ipdirilem 8488  ipasslem10 8499  ipdi 8503  ip2dii 8504  pythi 8510  sspph 8515  ipblnfi 8516  ubthlem7 8535  minveclem16 8560  minveclem18 8562  minveclem19 8563  minveclem21 8565  minveclem35 8579  minveclem36 8580  minveclem37 8581  minveclem38 8582  hhshsslem2 9138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain