Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvgcl Structured version   Unicode version

Theorem nvgcl 22130
 Description: Closure law for the vector addition (group) operation of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvgcl.1
nvgcl.2
Assertion
Ref Expression
nvgcl

Proof of Theorem nvgcl
StepHypRef Expression
1 nvgcl.2 . . 3
21nvgrp 22127 . 2
3 nvgcl.1 . . . 4
43, 1bafval 22114 . . 3
54grpocl 21819 . 2
62, 5syl3an1 1218 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727  cfv 5483  (class class class)co 6110  cgr 21805  cnv 22094  cpv 22095  cba 22096 This theorem is referenced by:  nvmf  22158  nvsubadd  22167  nvpncan2  22168  nvaddsub4  22173  nvdif  22185  nvpi  22186  nvabs  22193  imsmetlem  22213  nvelbl2  22217  vacn  22221  ipval2lem2  22231  4ipval2  22235  sspival  22268  lnocoi  22289  0lno  22322  blocnilem  22336  ip0i  22357  ip1ilem  22358  ip2i  22360  ipdirilem  22361  ipasslem10  22371  dipdi  22375  ip2dii  22376  pythi  22382  sspph  22387  ipblnfi  22388  ubthlem2  22404  minvecolem2  22408  hhshsslem2  22799 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-grpo 21810  df-ablo 21901  df-vc 22056  df-nv 22102  df-va 22105  df-ba 22106  df-sm 22107  df-0v 22108  df-nmcv 22110
 Copyright terms: Public domain W3C validator