Theorem nvge0 8298

Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64.

Hypotheses

Ref	Expression
nvge0.1	|- X = (Base` U)
nvge0.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvge0	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (N` A))

Proof of Theorem nvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodge0t 5830	. 2 |- (((2 e. RR /\ (N` A) e. RR) /\ (0 < 2 /\ 0 <_ (2 x. (N` A)))) -> 0 <_ (N` A))
2		nvge0.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
3		nvge0.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
4	2, 3	nvcl 8283	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
5		2re 5981	. . 3 |- 2 e. RR
6	4, 5	jctil 292	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (2 e. RR /\ (N` A) e. RR))
7		eqid 1478	. . . . . . . 8 |- (0v` U) = (0v` U)
8	7, 3	nvz0 8292	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0v` U)) = 0)
9	8	adantr 391	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (0v` U)) = 0)
10		eqid 1478	. . . . . . . . . 10 |- (.s` U) = (.s` U)
11	2, 10, 7	nv0 8254	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0(.s` U)A) = (0v` U))
12		ax1cn 5281	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
13	12	negid 5392	. . . . . . . . . 10 |- (1 + -u1) = 0
14	13	opreq1i 3977	. . . . . . . . 9 |- ((1 + -u1)(.s` U)A) = (0(.s` U)A)
15	11, 14	syl5req 1523	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0v` U) = ((1 + -u1)(.s` U)A))
16	12	negcl 5381	. . . . . . . . 9 |- -u1 e. CC
17		eqid 1478	. . . . . . . . . . 11 |- (+v` U) = (+v` U)
18	2, 17, 10	nvdir 8248	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 e. CC /\ -u1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + -u1)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
19	12, 18	mp3anr1 915	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + -u1)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
20	16, 19	mpanr1 711	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1 + -u1)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
21	2, 10	nvsid 8244	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1(.s` U)A) = A)
22	21	opreq1d 3981	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
23	15, 20, 22	3eqtrd 1514	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0v` U) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
24	23	fveq2d 3734	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (0v` U)) = (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))))
25	9, 24	eqtr3d 1512	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 = (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))))
26	2, 10	nvscl 8243	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
27	16, 26	mp3an2 906	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
28	2, 17, 3	nvtri 8294	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)A) e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))))
29	27, 28	mpd3an3 919	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))))
30	25, 29	eqbrtrd 2640	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))))
31	2, 10, 3	nvm1 8288	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (-u1(.s` U)A)) = (N` A))
32	31	opreq2d 3982	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))) = ((N` A) + (N` A)))
33	4	recnd 5327	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. CC)
34		2timest 6006	. . . . . 6 |- ((N` A) e. CC -> (2 x. (N` A)) = ((N` A) + (N` A)))
35	33, 34	syl 10	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (2 x. (N` A)) = ((N` A) + (N` A)))
36	32, 35	eqtr4d 1513	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))) = (2 x. (N` A)))
37	30, 36	breqtrd 2644	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (2 x. (N` A)))
38		2pos 5991	. . 3 |- 0 < 2
39	37, 38	jctil 292	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0 < 2 /\ 0 <_ (2 x. (N` A))))
40	1, 6, 39	sylanc 473	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (N` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251  -ucneg 5305   <_ cle 5307   < clt 5498  2c2 5963  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  0vcn0v 8203  normcnm 8205

This theorem is referenced by:  nvgt0 8299  sm1cnilem 8343  ipnm 8360  nmoge0 8426  nmoub3i 8432  siilem1 8507  siii 8509  ubthlem12 8536  minveclem9 8549  minveclem10 8550  minveclem14 8554  minveclem28 8568  minveclem38 8578  minveceu 8579  htthlem6 8621  htthlem8 8623  htthlem10 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-2 5972  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain