MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvgrp Unicode version

Theorem nvgrp 21946
Description: The vector addition operation of a normed complex vector space is a group. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nvabl.1  |-  G  =  ( +v `  U
)
Assertion
Ref Expression
nvgrp  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  GrpOp )

Proof of Theorem nvgrp
StepHypRef Expression
1 nvabl.1 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
21nvablo 21945 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  AbelOp )
3 ablogrpo 21722 . 2  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  GrpOp )
42, 3syl 16 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  GrpOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5396   GrpOpcgr 21624   AbelOpcablo 21719   NrmCVeccnv 21913   +vcpv 21914
This theorem is referenced by:  nvgf  21947  nvgcl  21949  nvass  21951  nvrcan  21954  nvlcan  21955  nvzcl  21965  nv0rid  21966  nv0lid  21967  nvinvfval  21971  nvmval  21973  nvmfval  21975  nvnnncan2  21980  nvnegneg  21982  nvrinv  21984  nvlinv  21985  nvaddsubass  21989  nvmtri2  22011  hhshsslem1  22617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-ablo 21720  df-vc 21875  df-nv 21921  df-va 21924  df-ba 21925  df-sm 21926  df-0v 21927  df-nmcv 21929
  Copyright terms: Public domain W3C validator