MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvgt0 Structured version   Unicode version

Theorem nvgt0 22164
Description: A nonzero norm is positive. (Contributed by NM, 20-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvgt0.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvgt0.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
nvgt0.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvgt0  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  A ) ) )

Proof of Theorem nvgt0
StepHypRef Expression
1 nvgt0.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nvgt0.5 . . . 4  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
3 nvgt0.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
41, 2, 3nvz 22158 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =  0  <->  A  =  Z ) )
54necon3bid 2636 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  Z ) )
61, 3nvcl 22148 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
71, 3nvge0 22163 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
8 ne0gt0 9178 . . 3  |-  ( ( ( N `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( N `  A ) )  -> 
( ( N `  A )  =/=  0  <->  0  <  ( N `  A ) ) )
96, 7, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =/=  0  <->  0  <  ( N `  A ) ) )
105, 9bitr3d 247 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   RRcr 8989   0cc0 8990    < clt 9120    <_ cle 9121   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   0veccn0v 22067   normCVcnmcv 22069
This theorem is referenced by:  nv1  22165  nmlno0lem  22294  nmblolbii  22300  blocnilem  22305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-nmcv 22079
  Copyright terms: Public domain W3C validator