Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvinvfval Structured version   Unicode version

Theorem nvinvfval 22121
 Description: Function for the negative of a vector on a normed complex vector space, in terms of the underlying addition group inverse. (We currently do not have a separate notation for the negative of a vector.) (Contributed by NM, 27-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvinvfval.2
nvinvfval.4
nvinvfval.3
Assertion
Ref Expression
nvinvfval

Proof of Theorem nvinvfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5
2 nvinvfval.4 . . . . 5
31, 2nvsf 22098 . . . 4
4 neg1cn 10067 . . . 4
5 nvinvfval.3 . . . . 5
65curry1f 6440 . . . 4
73, 4, 6sylancl 644 . . 3
8 ffn 5591 . . 3
97, 8syl 16 . 2
10 nvinvfval.2 . . . 4
1110nvgrp 22096 . . 3
121, 10bafval 22083 . . . 4
13 eqid 2436 . . . 4
1412, 13grpoinvf 21828 . . 3
15 f1ofn 5675 . . 3
1611, 14, 153syl 19 . 2
17 ffn 5591 . . . . . 6
183, 17syl 16 . . . . 5
1918adantr 452 . . . 4
205curry1val 6439 . . . 4
2119, 4, 20sylancl 644 . . 3
221, 10, 2, 13nvinv 22120 . . 3
2321, 22eqtrd 2468 . 2
249, 16, 23eqfnfvd 5830 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956  csn 3814   cxp 4876  ccnv 4877   cres 4880   ccom 4882   wfn 5449  wf 5450  wf1o 5453  cfv 5454  (class class class)co 6081  c2nd 6348  cc 8988  c1 8991  cneg 9292  cgr 21774  cgn 21776  cnv 22063  cpv 22064  cba 22065  cns 22066 This theorem is referenced by:  hhssabloi  22762 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-neg 9294  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-nmcv 22079
 Copyright terms: Public domain W3C validator