MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvlmle Unicode version

Theorem nvlmle 22145
Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvlmcl.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvlmcl.2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
nvlmcl.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
nvlmle.5  |-  N  =  ( normCV `  U )
nvlmle.6  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
nvlmle.7  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
nvlmle.8  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
nvlmle.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
nvlmle.10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  <_  R )
Assertion
Ref Expression
nvlmle  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  <_  R )
Distinct variable groups:    D, k    k, F    k, J    P, k    R, k    U, k   
k, X    ph, k
Allowed substitution hint:    N( k)

Proof of Theorem nvlmle
StepHypRef Expression
1 nvlmle.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
2 nvlmle.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
3 nvlmcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 nvlmcl.2 . . . . . 6  |-  D  =  ( IndMet `  U )
5 nvlmcl.3 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
63, 4, 5nvlmcl 22144 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  X )
71, 2, 6syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
8 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
9 nvlmle.5 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
103, 8, 9, 4nvnd 22137 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X )  ->  ( N `  P )  =  ( P D ( 0vec `  U
) ) )
111, 7, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  =  ( P D ( 0vec `  U
) ) )
123, 4imsxmet 22141 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
131, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
143, 8nvzcl 22072 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
151, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
16 xmetsym 18334 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( 0vec `  U
)  e.  X )  ->  ( P D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D P ) )
1713, 7, 15, 16syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P D (
0vec `  U )
)  =  ( (
0vec `  U ) D P ) )
1811, 17eqtrd 2440 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  =  ( (
0vec `  U ) D P ) )
19 nnuz 10481 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
20 1z 10271 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2120a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
22 nvlmle.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2322rexrd 9094 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
241adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U  e.  NrmCVec )
25 nvlmle.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
2625ffvelrnda 5833 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
273, 8, 9, 4nvnd 22137 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  ( N `  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D (
0vec `  U )
) )
2824, 26, 27syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D (
0vec `  U )
) )
2913adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
3015adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0vec `  U )  e.  X
)
31 xmetsym 18334 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( 0vec `  U
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k ) D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
3229, 26, 30, 31syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
3328, 32eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
34 nvlmle.10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  <_  R )
3533, 34eqbrtrrd 4198 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
0vec `  U ) D ( F `  k ) )  <_  R )
3619, 5, 13, 21, 2, 15, 23, 35lmle 19211 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0vec `  U
) D P )  <_  R )
3718, 36eqbrtrd 4196 1  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  <_  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   1c1 8951    <_ cle 9081   NNcn 9960   ZZcz 10242   * Metcxmt 16645   MetOpencmopn 16650   ~~> tclm 17248   NrmCVeccnv 22020   BaseSetcba 22022   0veccn0v 22024   normCVcnmcv 22026   IndMetcims 22027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-lm 17251  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ginv 21738  df-gdiv 21739  df-ablo 21827  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-vs 22035  df-nmcv 22036  df-ims 22037
  Copyright terms: Public domain W3C validator