Theorem nvlmle 8329

Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value.

Hypotheses

Ref	Expression
nvlmle.1	|- X = (Base` U)
nvlmle.6	|- N = (norm` U)
nvlmle.8	|- D = (IndMet` U)
nvlmle.p	|- P e. V

Assertion

Ref	Expression
nvlmle	|- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (N` P) <_ R)

Distinct variable groups:   D,k   k,F   P,k   R,k   U,k   k,X

Proof of Theorem nvlmle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvlmle.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
2		nvlmle.8	. . . . . 6 |- D = (IndMet` U)
3		nvlmle.p	. . . . . 6 |- P e. V
4	1, 2, 3	nvlmcl 8328	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ F(~~>m` D)P) -> P e. X)
5		eqid 1478	. . . . . 6 |- (0v` U) = (0v` U)
6		nvlmle.6	. . . . . 6 |- N = (norm` U)
7	1, 5, 6, 2	nvnd 8315	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ P e. X) -> (N` P) = (PD(0v` U)))
8	4, 7	syldan 469	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ F(~~>m` D)P) -> (N` P) = (PD(0v` U)))
9	8	3adant2 800	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) -> (N` P) = (PD(0v` U)))
10	9	adantr 391	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (N` P) = (PD(0v` U)))
11		eqid 1478	. . . . 5 |- dom dom D = dom dom D
12		1z 6161	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
13		nnuz 6440	. . . . 5 |- NN = (ZZ>` 1)
14	11, 12, 13	lmle 7957	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. V /\ F(~~>m` D)P) /\ ((0v` U) e. dom dom D /\ R e. RR /\ A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R)) -> (PD(0v` U)) <_ R)
15	3, 14	mp3anl2 913	. . 3 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)P) /\ ((0v` U) e. dom dom D /\ R e. RR /\ A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R)) -> (PD(0v` U)) <_ R)
16	2	imsmet 8320	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> D e. Met)
17	16	anim1i 334	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ F(~~>m` D)P) -> (D e. Met /\ F(~~>m` D)P))
18	17	3adant2 800	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) -> (D e. Met /\ F(~~>m` D)P))
19	18	adantr 391	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (D e. Met /\ F(~~>m` D)P))
20	1, 5	nvzcl 8251	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. X)
21	1, 2	imsba 8317	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> X = dom dom D)
22	20, 21	eleqtrd 1553	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. dom dom D)
23	22	3ad2ant1 802	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) -> (0v` U) e. dom dom D)
24	23	adantr 391	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (0v` U) e. dom dom D)
25		simprl 416	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> R e. RR)
26	1, 5, 6, 2	nvnd 8315	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ (F` k) e. X) -> (N` (F` k)) = ((F` k)D(0v` U)))
27		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:NN-->X /\ k e. NN) -> (F` k) e. X)
28	26, 27	sylan2 453	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ (F:NN-->X /\ k e. NN)) -> (N` (F` k)) = ((F` k)D(0v` U)))
29	28	anassrs 443	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) /\ k e. NN) -> (N` (F` k)) = ((F` k)D(0v` U)))
30	29	breq1d 2634	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) /\ k e. NN) -> ((N` (F` k)) <_ R <-> ((F` k)D(0v` U)) <_ R))
31	30	biimpd 153	. . . . . . . 8 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) /\ k e. NN) -> ((N` (F` k)) <_ R -> ((F` k)D(0v` U)) <_ R))
32	31	r19.20dva 1712	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) -> (A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R -> A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R))
33	32	imp 350	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R) -> A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R)
34	33	adantrl 396	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R)
35	34	3adantl3 807	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R)
36	24, 25, 35	3jca 821	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> ((0v` U) e. dom dom D /\ R e. RR /\ A.k e. NN ((F` k)D(0v` U)) <_ R))
37	15, 19, 36	sylanc 473	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (PD(0v` U)) <_ R)
38	10, 37	eqbrtrd 2640	1 |- (((U e. NrmCVec /\ F:NN-->X /\ F(~~>m` D)P) /\ (R e. RR /\ A.k e. NN (N` (F` k)) <_ R)) -> (N` P) <_ R)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  dom cdm 3176  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  1c1 5247   <_ cle 5307  NNcn 5308  Metcme 7786  ~~>mclm 7916  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  0vcn0v 8203  normcnm 8205  IndMetcims 8206

This theorem is referenced by:  ubthlem3 8527

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-uz 6419  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-met 7790  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216

Copyright terms: Public domain