Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvlmle Structured version   Unicode version

Theorem nvlmle 22193
 Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvlmcl.1
nvlmcl.2
nvlmcl.3
nvlmle.5 CV
nvlmle.6
nvlmle.7
nvlmle.8
nvlmle.9
nvlmle.10
Assertion
Ref Expression
nvlmle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem nvlmle
StepHypRef Expression
1 nvlmle.6 . . . 4
2 nvlmle.8 . . . . 5
3 nvlmcl.1 . . . . . 6
4 nvlmcl.2 . . . . . 6
5 nvlmcl.3 . . . . . 6
63, 4, 5nvlmcl 22192 . . . . 5
71, 2, 6syl2anc 644 . . . 4
8 eqid 2438 . . . . 5
9 nvlmle.5 . . . . 5 CV
103, 8, 9, 4nvnd 22185 . . . 4
111, 7, 10syl2anc 644 . . 3
123, 4imsxmet 22189 . . . . 5
131, 12syl 16 . . . 4
143, 8nvzcl 22120 . . . . 5
151, 14syl 16 . . . 4
16 xmetsym 18382 . . . 4
1713, 7, 15, 16syl3anc 1185 . . 3
1811, 17eqtrd 2470 . 2
19 nnuz 10526 . . 3
20 1z 10316 . . . 4
2120a1i 11 . . 3
22 nvlmle.9 . . . 4
2322rexrd 9139 . . 3
241adantr 453 . . . . . 6
25 nvlmle.7 . . . . . . 7
2625ffvelrnda 5873 . . . . . 6
273, 8, 9, 4nvnd 22185 . . . . . 6
2824, 26, 27syl2anc 644 . . . . 5
2913adantr 453 . . . . . 6
3015adantr 453 . . . . . 6
31 xmetsym 18382 . . . . . 6
3229, 26, 30, 31syl3anc 1185 . . . . 5
3328, 32eqtrd 2470 . . . 4
34 nvlmle.10 . . . 4
3533, 34eqbrtrrd 4237 . . 3
3619, 5, 13, 21, 2, 15, 23, 35lmle 19259 . 2
3718, 36eqbrtrd 4235 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   class class class wbr 4215  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cr 8994  c1 8996   cle 9126  cn 10005  cz 10287  cxmt 16691  cmopn 16696  clm 17295  cnv 22068  cba 22070  cn0v 22072  CVcnmcv 22074  cims 22075 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-lm 17298  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gdiv 21787  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-vs 22083  df-nmcv 22084  df-ims 22085
 Copyright terms: Public domain W3C validator