MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvlmle Unicode version

Theorem nvlmle 21265
Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvlmcl.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvlmcl.2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
nvlmcl.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
nvlmle.5  |-  N  =  ( normCV `  U )
nvlmle.6  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
nvlmle.7  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
nvlmle.8  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
nvlmle.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
nvlmle.10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  <_  R )
Assertion
Ref Expression
nvlmle  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  <_  R )
Distinct variable groups:    D, k    k, F    k, J    P, k    R, k    U, k   
k, X    ph, k
Allowed substitution hint:    N( k)

Proof of Theorem nvlmle
StepHypRef Expression
1 nvlmle.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
2 nvlmle.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
3 nvlmcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 nvlmcl.2 . . . . . 6  |-  D  =  ( IndMet `  U )
5 nvlmcl.3 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
63, 4, 5nvlmcl 21264 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  X )
71, 2, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
8 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
9 nvlmle.5 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
103, 8, 9, 4nvnd 21257 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X )  ->  ( N `  P )  =  ( P D ( 0vec `  U
) ) )
111, 7, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  =  ( P D ( 0vec `  U
) ) )
123, 4imsxmet 21261 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
131, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
143, 8nvzcl 21192 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
151, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
16 xmetsym 17912 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( 0vec `  U
)  e.  X )  ->  ( P D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D P ) )
1713, 7, 15, 16syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P D (
0vec `  U )
)  =  ( (
0vec `  U ) D P ) )
1811, 17eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  =  ( (
0vec `  U ) D P ) )
19 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
20 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2120a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
22 nvlmle.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2322rexrd 8881 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
241adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U  e.  NrmCVec )
25 nvlmle.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
26 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> X  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
2725, 26sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
283, 8, 9, 4nvnd 21257 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  ( N `  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D (
0vec `  U )
) )
2924, 27, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D (
0vec `  U )
) )
3013adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
3115adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0vec `  U )  e.  X
)
32 xmetsym 17912 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( 0vec `  U
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k ) D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
3330, 27, 31, 32syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
3429, 33eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
35 nvlmle.10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  <_  R )
3634, 35eqbrtrrd 4045 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
0vec `  U ) D ( F `  k ) )  <_  R )
3719, 5, 13, 21, 2, 15, 23, 36lmle 18727 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0vec `  U
) D P )  <_  R )
3818, 37eqbrtrd 4043 1  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  <_  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372   ~~> tclm 16956   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   0veccn0v 21144   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-lm 16959  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157
  Copyright terms: Public domain W3C validator