MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvlmle Unicode version

Theorem nvlmle 21699
Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvlmcl.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvlmcl.2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
nvlmcl.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
nvlmle.5  |-  N  =  ( normCV `  U )
nvlmle.6  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
nvlmle.7  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
nvlmle.8  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
nvlmle.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
nvlmle.10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  <_  R )
Assertion
Ref Expression
nvlmle  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  <_  R )
Distinct variable groups:    D, k    k, F    k, J    P, k    R, k    U, k   
k, X    ph, k
Allowed substitution hint:    N( k)

Proof of Theorem nvlmle
StepHypRef Expression
1 nvlmle.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
2 nvlmle.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
3 nvlmcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 nvlmcl.2 . . . . . 6  |-  D  =  ( IndMet `  U )
5 nvlmcl.3 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
63, 4, 5nvlmcl 21698 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  F
( ~~> t `  J
) P )  ->  P  e.  X )
71, 2, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
8 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
9 nvlmle.5 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
103, 8, 9, 4nvnd 21691 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X )  ->  ( N `  P )  =  ( P D ( 0vec `  U
) ) )
111, 7, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  =  ( P D ( 0vec `  U
) ) )
123, 4imsxmet 21695 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
131, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
143, 8nvzcl 21626 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
151, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
16 xmetsym 18125 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( 0vec `  U
)  e.  X )  ->  ( P D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D P ) )
1713, 7, 15, 16syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P D (
0vec `  U )
)  =  ( (
0vec `  U ) D P ) )
1811, 17eqtrd 2398 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  =  ( (
0vec `  U ) D P ) )
19 nnuz 10414 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
20 1z 10204 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2120a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
22 nvlmle.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
2322rexrd 9028 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
241adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U  e.  NrmCVec )
25 nvlmle.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
26 ffvelrn 5770 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> X  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  X )
2725, 26sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
283, 8, 9, 4nvnd 21691 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  ( N `  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D (
0vec `  U )
) )
2924, 27, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D (
0vec `  U )
) )
3013adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
3115adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0vec `  U )  e.  X
)
32 xmetsym 18125 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( 0vec `  U
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k ) D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
3330, 27, 31, 32syl3anc 1183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D ( 0vec `  U
) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
3429, 33eqtrd 2398 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  =  ( ( 0vec `  U
) D ( F `
 k ) ) )
35 nvlmle.10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( N `
 ( F `  k ) )  <_  R )
3634, 35eqbrtrrd 4147 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
0vec `  U ) D ( F `  k ) )  <_  R )
3719, 5, 13, 21, 2, 15, 23, 36lmle 18942 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0vec `  U
) D P )  <_  R )
3818, 37eqbrtrd 4145 1  |-  ( ph  ->  ( N `  P
)  <_  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   class class class wbr 4125   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   RRcr 8883   1c1 8885    <_ cle 9015   NNcn 9893   ZZcz 10175   * Metcxmt 16579   MetOpencmopn 16584   ~~> tclm 17173   NrmCVeccnv 21574   BaseSetcba 21576   0veccn0v 21578   normCVcnmcv 21580   IndMetcims 21581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-lm 17176  df-grpo 21290  df-gid 21291  df-ginv 21292  df-gdiv 21293  df-ablo 21381  df-vc 21536  df-nv 21582  df-va 21585  df-ba 21586  df-sm 21587  df-0v 21588  df-vs 21589  df-nmcv 21590  df-ims 21591
  Copyright terms: Public domain W3C validator