MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmfval Unicode version

Theorem nvmfval 21218
Description: Value of the function for the vector subtraction operation on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvmval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvmval.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
nvmval.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
Assertion
Ref Expression
nvmfval  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x G ( -u
1 S y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)    M( x, y)

Proof of Theorem nvmfval
StepHypRef Expression
1 nvmval.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
21nvgrp 21189 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  e.  GrpOp )
3 nvmval.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
43, 1bafval 21176 . . . 4  |-  X  =  ran  G
5 eqid 2296 . . . 4  |-  ( inv `  G )  =  ( inv `  G )
6 nvmval.3 . . . . 5  |-  M  =  ( -v `  U
)
71, 6vsfval 21207 . . . 4  |-  M  =  (  /g  `  G
)
84, 5, 7grpodivfval 20925 . . 3  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  M  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x G ( ( inv `  G
) `  y )
) ) )
92, 8syl 15 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x G ( ( inv `  G ) `
 y ) ) ) )
10 nvmval.4 . . . . . 6  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
113, 1, 10, 5nvinv 21213 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  =  ( ( inv `  G ) `  y
) )
12113adant2 974 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  =  ( ( inv `  G ) `  y
) )
1312oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x G ( -u
1 S y ) )  =  ( x G ( ( inv `  G ) `  y
) ) )
1413mpt2eq3dva 5928 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x G ( -u 1 S y ) ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |->  ( x G ( ( inv `  G
) `  y )
) ) )
159, 14eqtr4d 2331 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  M  =  ( x  e.  X , 
y  e.  X  |->  ( x G ( -u
1 S y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1c1 8754   -ucneg 9054   GrpOpcgr 20869   invcgn 20871   NrmCVeccnv 21156   +vcpv 21157   BaseSetcba 21158   .s
OLDcns 21159   -vcnsb 21161
This theorem is referenced by:  nvmf  21220  cnnvm  21267  vmcn  21288  h2hvs  21573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172
  Copyright terms: Public domain W3C validator