Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnd Structured version   Unicode version

Theorem nvnd 22180
 Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvnd.1
nvnd.5
nvnd.6 CV
nvnd.8
Assertion
Ref Expression
nvnd

Proof of Theorem nvnd
StepHypRef Expression
1 nvnd.1 . . . . 5
2 nvnd.5 . . . . 5
31, 2nvzcl 22115 . . . 4
5 eqid 2436 . . . 4
6 nvnd.6 . . . 4 CV
7 nvnd.8 . . . 4
81, 5, 6, 7imsdval 22178 . . 3
94, 8mpd3an3 1280 . 2
10 eqid 2436 . . . . . 6
11 eqid 2436 . . . . . 6
121, 10, 11, 5nvmval 22123 . . . . 5
134, 12mpd3an3 1280 . . . 4
14 neg1cn 10067 . . . . . . 7
1511, 2nvsz 22119 . . . . . . 7
1614, 15mpan2 653 . . . . . 6
1716oveq2d 6097 . . . . 5
1817adantr 452 . . . 4
191, 10, 2nv0rid 22116 . . . 4
2013, 18, 193eqtrd 2472 . . 3
2120fveq2d 5732 . 2
229, 21eqtr2d 2469 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  c1 8991  cneg 9292  cnv 22063  cpv 22064  cba 22065  cns 22066  cn0v 22067  cnsb 22068  CVcnmcv 22069  cims 22070 This theorem is referenced by:  nvlmle  22188  ubthlem1  22372 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-neg 9294  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080
 Copyright terms: Public domain W3C validator