MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnpcan Unicode version

Theorem nvnpcan 21982
Description: Cancellation law for a normed complex vector space. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvsubadd.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvsubadd.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
nvsubadd.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
Assertion
Ref Expression
nvnpcan  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A M B ) G B )  =  A )

Proof of Theorem nvnpcan
StepHypRef Expression
1 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
2 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
31, 2, 23jca 1134 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X ) )
4 nvsubadd.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 nvsubadd.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
6 nvsubadd.3 . . . . 5  |-  M  =  ( -v `  U
)
74, 5, 6nvaddsub 21981 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( A G B ) M B )  =  ( ( A M B ) G B ) )
83, 7syldan 457 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( A G B ) M B )  =  ( ( A M B ) G B ) )
983impb 1149 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) M B )  =  ( ( A M B ) G B ) )
104, 5, 6nvpncan 21979 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A G B ) M B )  =  A )
119, 10eqtr3d 2414 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A M B ) G B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   NrmCVeccnv 21904   +vcpv 21905   BaseSetcba 21906   -vcnsb 21909
This theorem is referenced by:  nvmeq0  21986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-ltxr 9051  df-sub 9218  df-neg 9219  df-grpo 21620  df-gid 21621  df-ginv 21622  df-gdiv 21623  df-ablo 21711  df-vc 21866  df-nv 21912  df-va 21915  df-ba 21916  df-sm 21917  df-0v 21918  df-vs 21919  df-nmcv 21920
  Copyright terms: Public domain W3C validator