Theorem nvo00 8420

Description: Two ways to express a zero operator.

Hypothesis

Ref	Expression
nvo00.1	|- X = (Base` U)

Assertion

Ref	Expression
nvo00	|- ((U e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (T = (X X. {Z}) <-> ran T = {Z}))

Proof of Theorem nvo00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst5 3854	. . 3 |- ((T Fn X /\ X =/= (/)) -> (T = (X X. {Z}) <-> ran T = {Z}))
2		ffn 3633	. . 3 |- (T:X-->Y -> T Fn X)
3		nvo00.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
4		eqid 1478	. . . . 5 |- (0v` U) = (0v` U)
5	3, 4	nvzcl 8251	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. X)
6		ne0i 2289	. . . 4 |- ((0v` U) e. X -> X =/= (/))
7	5, 6	syl 10	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> X =/= (/))
8	1, 2, 7	syl2an 456	. 2 |- ((T:X-->Y /\ U e. NrmCVec) -> (T = (X X. {Z}) <-> ran T = {Z}))
9	8	ancoms 438	1 |- ((U e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (T = (X X. {Z}) <-> ran T = {Z}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  (/)c0 2283  {csn 2413   X. cxp 3174  ran crn 3177   Fn wfn 3183  -->wf 3184  ` cfv 3188  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  0vcn0v 8203

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-gid 8035  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain