Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvs Structured version   Unicode version

Theorem nvs 22152
 Description: Proportionality property of the norm of a scalar product in a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvs.1
nvs.4
nvs.6 CV
Assertion
Ref Expression
nvs

Proof of Theorem nvs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nvs.1 . . . . . . 7
2 eqid 2437 . . . . . . 7
3 nvs.4 . . . . . . 7
4 eqid 2437 . . . . . . 7
5 nvs.6 . . . . . . 7 CV
61, 2, 3, 4, 5nvi 22094 . . . . . 6
76simp3d 972 . . . . 5
8 simp2 959 . . . . . 6
98ralimi 2782 . . . . 5
107, 9syl 16 . . . 4
11 oveq2 6090 . . . . . . 7
1211fveq2d 5733 . . . . . 6
13 fveq2 5729 . . . . . . 7
1413oveq2d 6098 . . . . . 6
1512, 14eqeq12d 2451 . . . . 5
16 oveq1 6089 . . . . . . 7
1716fveq2d 5733 . . . . . 6
18 fveq2 5729 . . . . . . 7
1918oveq1d 6097 . . . . . 6
2017, 19eqeq12d 2451 . . . . 5
2115, 20rspc2v 3059 . . . 4
2210, 21syl5 31 . . 3
23223impia 1151 . 2
24233com13 1159 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  cop 3818   class class class wbr 4213  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  cc 8989  cr 8990  cc0 8991   caddc 8994   cmul 8996   cle 9122  cabs 12040  cvc 22025  cnv 22064  cpv 22065  cba 22066  cns 22067  cn0v 22068  CVcnmcv 22070 This theorem is referenced by:  nvsge0  22153  nvm1  22154  nvpi  22156  nvmtri  22161  smcnlem  22194  ipidsq  22210  minvecolem2  22378 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-vc 22026  df-nv 22072  df-va 22075  df-ba 22076  df-sm 22077  df-0v 22078  df-nmcv 22080
 Copyright terms: Public domain W3C validator