MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvsub Unicode version

Theorem nvsub 21249
Description: The norm of the difference between two vectors. (Contributed by NM, 14-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvsub.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvsub.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
nvsub.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvsub  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A M B ) )  =  ( N `  ( B M A ) ) )

Proof of Theorem nvsub
StepHypRef Expression
1 nvsub.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2296 . . 3  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
4 nvsub.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
51, 2, 3, 4nvdif 21247 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .s OLD `  U
) B ) ) )  =  ( N `
 ( B ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) )
6 nvsub.3 . . . 4  |-  M  =  ( -v `  U
)
71, 2, 3, 6nvmval 21216 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A M B )  =  ( A ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .s
OLD `  U ) B ) ) )
87fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A M B ) )  =  ( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .s OLD `  U ) B ) ) ) )
91, 2, 3, 6nvmval 21216 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( B M A )  =  ( B ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
1093com23 1157 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B M A )  =  ( B ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
1110fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( B M A ) )  =  ( N `  ( B ( +v `  U ) ( -u
1 ( .s OLD `  U ) A ) ) ) )
125, 8, 113eqtr4d 2338 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A M B ) )  =  ( N `  ( B M A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754   -ucneg 9054   NrmCVeccnv 21156   +vcpv 21157   BaseSetcba 21158   .s
OLDcns 21159   -vcnsb 21161   normCVcnmcv 21162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172
  Copyright terms: Public domain W3C validator