MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvz0 Unicode version

Theorem nvz0 21250
Description: The norm of a zero vector is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvz0.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
nvz0.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvz0  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  Z )  =  0 )

Proof of Theorem nvz0
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 nvz0.5 . . . 4  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
31, 2nvzcl 21208 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  (
BaseSet `  U ) )
4 0re 8854 . . . . 5  |-  0  e.  RR
5 0le0 9843 . . . . 5  |-  0  <_  0
64, 5pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 )
7 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
8 nvz0.6 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
91, 7, 8nvsge0 21245 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
0  e.  RR  /\  0  <_  0 )  /\  Z  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( N `  (
0 ( .s OLD `  U ) Z ) )  =  ( 0  x.  ( N `  Z ) ) )
106, 9mp3an2 1265 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  Z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( N `  ( 0 ( .s
OLD `  U ) Z ) )  =  ( 0  x.  ( N `  Z )
) )
113, 10mpdan 649 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( 0 ( .s
OLD `  U ) Z ) )  =  ( 0  x.  ( N `  Z )
) )
121, 7, 2nv0 21211 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  Z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( 0 ( .s OLD `  U
) Z )  =  Z )
133, 12mpdan 649 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0 ( .s OLD `  U
) Z )  =  Z )
1413fveq2d 5545 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( 0 ( .s
OLD `  U ) Z ) )  =  ( N `  Z
) )
151, 8nvcl 21241 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  Z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( N `  Z )  e.  RR )
1615recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  Z  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( N `  Z )  e.  CC )
173, 16mpdan 649 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  Z )  e.  CC )
1817mul02d 9026 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0  x.  ( N `  Z
) )  =  0 )
1911, 14, 183eqtr3d 2336 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  Z )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    <_ cle 8884   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   .s
OLDcns 21159   0veccn0v 21160   normCVcnmcv 21162
This theorem is referenced by:  nvz  21251  nvge0  21256  ipidsq  21302  nmosetn0  21359  nmoo0  21385  nmlnoubi  21390  nmblolbii  21393  blocnilem  21398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172
  Copyright terms: Public domain W3C validator