Theorem nvz0 8296

Description: The norm of a zero vector is zero.

Hypotheses

Ref	Expression
nvz0.5	|- Z = (0v` U)
nvz0.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvz0	|- (U e. NrmCVec -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nvz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . 4 |- (Base` U) = (Base` U)
2		nvz0.5	. . . 4 |- Z = (0v` U)
3	1, 2	nvzcl 8255	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> Z e. (Base` U))
4		0re 5440	. . . . 5 |- 0 e. RR
5	4	leid 5610	. . . . 5 |- 0 <_ 0
6	4, 5	pm3.2i 285	. . . 4 |- (0 e. RR /\ 0 <_ 0)
7		eqid 1475	. . . . 5 |- (.s` U) = (.s` U)
8		nvz0.6	. . . . 5 |- N = (norm` U)
9	1, 7, 8	nvsge0 8291	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (0 e. RR /\ 0 <_ 0) /\ Z e. (Base` U)) -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
10	6, 9	mp3an2 904	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
11	3, 10	mpdan 704	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
12	1, 7, 2	nv0 8258	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (0(.s` U)Z) = Z)
13	3, 12	mpdan 704	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (0(.s` U)Z) = Z)
14	13	fveq2d 3728	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0(.s` U)Z)) = (N` Z))
15	1, 8	nvcl 8287	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (N` Z) e. RR)
16	15	recnd 5315	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (N` Z) e. CC)
17	3, 16	mpdan 704	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (N` Z) e. CC)
18		mul02t 5444	. . 3 |- ((N` Z) e. CC -> (0 x. (N` Z)) = 0)
19	17, 18	syl 10	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (0 x. (N` Z)) = 0)
20	11, 14, 19	3eqtr3d 1515	1 |- (U e. NrmCVec -> (N` Z) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   x. cmul 5239   <_ cle 5295  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  .scns 8206  0vcn0v 8207  normcnm 8209

This theorem is referenced by:  nvz 8297  nvge0 8302  ipid 8363  nmosetn0 8428  nmo0 8451  nmlnoubi 8456  nmblolbii 8459  blocnilem 8464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain