MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1bdd Structured version   Unicode version

Theorem o1bdd 12356
Description: The defining property of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1bdd  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y

Proof of Theorem o1bdd
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  F  e.  O (
1 ) )
2 simpr 449 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  F : A --> CC )
3 fdm 5624 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
43adantl 454 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  =  A )
5 o1dm 12355 . . . . 5  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
65adantr 453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  dom  F  C_  RR )
74, 6eqsstr3d 3369 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  A  C_  RR )
8 elo12 12352 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
92, 7, 8syl2anc 644 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
101, 9mpbid 203 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : A --> CC )  ->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   E.wrex 2712    C_ wss 3306   class class class wbr 4237   dom cdm 4907   -->wf 5479   ` cfv 5483   CCcc 9019   RRcr 9020    <_ cle 9152   abscabs 12070   O ( 1 )co1 12311
This theorem is referenced by:  o1of2  12437  o1rlimmul  12443  o1cxp  20844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-er 6934  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-ico 10953  df-o1 12315
  Copyright terms: Public domain W3C validator