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Theorem o1co 12076
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1co.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
o1co.2  |-  ( ph  ->  F  e.  O ( 1 ) )
o1co.3  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
o1co.4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
o1co.5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( G `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
o1co  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    m, F, x, y    m, G, x, y    ph, m, x, y    B, m, x, y

Proof of Theorem o1co
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1co.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  O ( 1 ) )
2 o1co.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 fdm 5409 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
42, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
5 o1dm 12020 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
61, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  RR )
74, 6eqsstr3d 3226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
8 elo12 12017 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
) ) )
92, 7, 8syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
) ) )
101, 9mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )
11 o1co.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( G `  y ) ) )
12 reeanv 2720 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  <-> 
( E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
) ) )
13 o1co.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G : B --> A )
1413ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  ->  G : B --> A )
15 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : B --> A  /\  y  e.  B )  ->  ( G `  y
)  e.  A )
1614, 15sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  y  e.  B
)  ->  ( G `  y )  e.  A
)
17 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  (
m  <_  z  <->  m  <_  ( G `  y ) ) )
18 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( G `  y ) ) )
1918fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  =  ( abs `  ( F `  ( G `  y ) ) ) )
2019breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  n  <->  ( abs `  ( F `  ( G `  y )
) )  <_  n
) )
2117, 20imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  y )  ->  (
( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  n )  <->  ( m  <_  ( G `  y )  ->  ( abs `  ( F `  ( G `  y ) ) )  <_  n
) ) )
2221rspcva 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  y
)  e.  A  /\  A. z  e.  A  ( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( m  <_ 
( G `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  ( G `  y )
) )  <_  n
) )
2316, 22sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  y  e.  B )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  ( m  <_ 
( G `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  ( G `  y )
) )  <_  n
) )
2423an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( m  <_  ( G `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  ( G `  y )
) )  <_  n
) )
2514adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
) )  ->  G : B --> A )
26 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : B --> A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( F  o.  G ) `  y
)  =  ( F `
 ( G `  y ) ) )
2725, 26sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( ( F  o.  G ) `  y )  =  ( F `  ( G `
 y ) ) )
2827fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y
) )  =  ( abs `  ( F `
 ( G `  y ) ) ) )
2928breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y ) )  <_  n 
<->  ( abs `  ( F `  ( G `  y ) ) )  <_  n ) )
3024, 29sylibrd 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( m  <_  ( G `  y
)  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y
) )  <_  n
) )
3130imim2d 48 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  -> 
( x  <_  y  ->  ( abs `  (
( F  o.  G
) `  y )
)  <_  n )
) )
3231ralimdva 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
) )  ->  ( A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  -> 
( abs `  (
( F  o.  G
) `  y )
)  <_  n )
) )
3332expimpd 586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n )  /\  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) ) )  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  -> 
( abs `  (
( F  o.  G
) `  y )
)  <_  n )
) )
3433ancomsd 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( A. y  e.  B  (
x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  -> 
( abs `  (
( F  o.  G
) `  y )
)  <_  n )
) )
3534reximdva 2668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  ( A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  <_  n ) ) )
3635reximdva 2668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  ( A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  A. z  e.  A  ( m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  <_  n ) ) )
3712, 36syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( G `  y ) )  /\  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n ) )  ->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  <_  n ) ) )
3811, 37mpand 656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  RR  A. z  e.  A  (
m  <_  z  ->  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  n )  ->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  <_  n ) ) )
3938rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  RR  E. n  e.  RR  A. z  e.  A  ( m  <_ 
z  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  n
)  ->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y
) )  <_  n
) ) )
4010, 39mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `
 y ) )  <_  n ) )
41 fco 5414 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  G : B --> A )  ->  ( F  o.  G ) : B --> CC )
422, 13, 41syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) : B --> CC )
43 o1co.4 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
44 elo12 12017 . . 3  |-  ( ( ( F  o.  G
) : B --> CC  /\  B  C_  RR )  -> 
( ( F  o.  G )  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y
) )  <_  n
) ) )
4542, 43, 44syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G )  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. n  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( ( F  o.  G ) `  y
) )  <_  n
) ) )
4640, 45mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271   CCcc 8751   RRcr 8752    <_ cle 8884   abscabs 11735   O ( 1 )co1 11976
This theorem is referenced by:  o1compt  12077
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-o1 11980
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