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Theorem o1compt 12061
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1compt.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
o1compt.2  |-  ( ph  ->  F  e.  O ( 1 ) )
o1compt.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  A )
o1compt.4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
o1compt.5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) )
Assertion
Ref Expression
o1compt  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
y  e.  B  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, x, y    C, m, x    ph, m, x, y    m, F, x
Allowed substitution hints:    C( y)    F( y)

Proof of Theorem o1compt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1compt.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 o1compt.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  O ( 1 ) )
3 o1compt.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  A )
4 eqid 2283 . . 3  |-  ( y  e.  B  |->  C )  =  ( y  e.  B  |->  C )
53, 4fmptd 5684 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  C ) : B --> A )
6 o1compt.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
7 o1compt.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) )
8 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  <_  z
9 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
m
10 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y  <_
11 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( y  e.  B  |->  C )
12 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
z
1311, 12nffv 5532 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( y  e.  B  |->  C ) `  z )
149, 10, 13nfbr 4067 . . . . . . . 8  |-  F/ y  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z )
158, 14nfim 1769 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  <_  z  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z ) )
16 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ z ( x  <_  y  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) )
17 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  y ) )
18 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( y  e.  B  |->  C ) `  z
)  =  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y ) )
1918breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z )  <-> 
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) ) )
2017, 19imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  <_  z  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z ) )  <->  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y
) ) ) )
2115, 16, 20cbvral 2760 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  (
x  <_  z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 z ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 y ) ) )
22 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
234fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y )  =  C )
2422, 3, 23syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( y  e.  B  |->  C ) `  y
)  =  C )
2524breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y )  <-> 
m  <_  C )
)
2625imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  <_  y  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) )  <->  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) ) )
2726ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y
) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
2821, 27syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
2928rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) ) )
3029adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  B  (
x  <_  z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 z ) )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
317, 30mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) ) )
321, 2, 5, 6, 31o1co 12060 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
y  e.  B  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255   CCcc 8735   RRcr 8736    <_ cle 8868   O ( 1 )co1 11960
This theorem is referenced by:  dchrisum0  20669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ico 10662  df-o1 11964
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