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Theorem o1compt 12383
Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1compt.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
o1compt.2  |-  ( ph  ->  F  e.  O ( 1 ) )
o1compt.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  A )
o1compt.4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
o1compt.5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) )
Assertion
Ref Expression
o1compt  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
y  e.  B  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, A    B, m, x, y    C, m, x    ph, m, x, y    m, F, x
Allowed substitution hints:    C( y)    F( y)

Proof of Theorem o1compt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1compt.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 o1compt.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  O ( 1 ) )
3 o1compt.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  C  e.  A )
4 eqid 2438 . . 3  |-  ( y  e.  B  |->  C )  =  ( y  e.  B  |->  C )
53, 4fmptd 5895 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  C ) : B --> A )
6 o1compt.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
7 o1compt.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) )
8 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  <_  z
9 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
m
10 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y  <_
11 nffvmpt1 5738 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( y  e.  B  |->  C ) `  z )
129, 10, 11nfbr 4258 . . . . . . . 8  |-  F/ y  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z )
138, 12nfim 1833 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  <_  z  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z ) )
14 nfv 1630 . . . . . . 7  |-  F/ z ( x  <_  y  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) )
15 breq2 4218 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  y ) )
16 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( y  e.  B  |->  C ) `  z
)  =  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y ) )
1716breq2d 4226 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z )  <-> 
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) ) )
1815, 17imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  <_  z  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  z ) )  <->  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y
) ) ) )
1913, 14, 18cbvral 2930 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  (
x  <_  z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 z ) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 y ) ) )
20 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
214fvmpt2 5814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y )  =  C )
2220, 3, 21syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( y  e.  B  |->  C ) `  y
)  =  C )
2322breq2d 4226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y )  <-> 
m  <_  C )
)
2423imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  <_  y  ->  m  <_  ( (
y  e.  B  |->  C ) `  y ) )  <->  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) ) )
2524ralbidva 2723 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  y
) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
2619, 25syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) )  <->  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
2726rexbidv 2728 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_ 
y  ->  m  <_  C ) ) )
2827adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  B  (
x  <_  z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `
 z ) )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  ( x  <_  y  ->  m  <_  C ) ) )
297, 28mpbird 225 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  B  ( x  <_ 
z  ->  m  <_  ( ( y  e.  B  |->  C ) `  z
) ) )
301, 2, 5, 6, 29o1co 12382 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
y  e.  B  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456   CCcc 8990   RRcr 8991    <_ cle 9123   O ( 1 )co1 12282
This theorem is referenced by:  dchrisum0  21216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-ico 10924  df-o1 12286
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