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Theorem o1dif 12428
Description: If the difference of two functions is eventually bounded, eventual boundedness of either one implies the other. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1dif.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
o1dif.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
o1dif.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1dif  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem o1dif
StepHypRef Expression
1 o1dif.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
2 o1sub 12414 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 ) )
32expcom 426 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 ) ) )
5 o1dif.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 o1dif.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
75, 6subcld 9416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
87ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( B  -  C
)  e.  CC )
9 dmmptg 5370 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B  -  C )  e.  CC  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  =  A )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  =  A )
11 o1dm 12329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  C_  RR )
121, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  C_  RR )
1310, 12eqsstr3d 3385 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
14 reex 9086 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
1514ssex 4350 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
1613, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
17 eqidd 2439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
18 eqidd 2439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )
1916, 5, 7, 17, 18offval2 6325 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  ( B  -  C ) ) ) )
205, 6nncand 9421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  -  ( B  -  C ) )  =  C )
2120mpteq2dva 4298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  ( B  -  C )
) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2219, 21eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2322eleq1d 2504 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) ) )
244, 23sylibd 207 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 ) ) )
25 o1add 12412 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
2625ex 425 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  e.  O ( 1 )  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 )  -> 
( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O ( 1 ) ) )
271, 26syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) ) )
28 eqidd 2439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2916, 7, 6, 18, 28offval2 6325 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( B  -  C )  +  C ) ) )
305, 6npcand 9420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  -  C
)  +  C )  =  B )
3130mpteq2dva 4298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( B  -  C )  +  C
) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3229, 31eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3332eleq1d 2504 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) )  o F  +  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) ) )
3427, 33sylibd 207 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 ) ) )
3524, 34impbid 185 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322    e. cmpt 4269   dom cdm 4881  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   CCcc 8993   RRcr 8994    + caddc 8998    - cmin 9296   O ( 1 )co1 12285
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  21193  dchrvmasumiflem2  21201  dchrisum0lem2a  21216  dchrisum0lem2  21217  rplogsum  21226  dirith2  21227  mulogsumlem  21230  mulogsum  21231  vmalogdivsum2  21237  vmalogdivsum  21238  2vmadivsumlem  21239  selberg3lem1  21256  selberg4lem1  21259  selberg4  21260  pntrlog2bndlem4  21279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-ico 10927  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-o1 12289
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