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Theorem o1fsum 12287
Description: If  A
( k ) is O(1), then  sum_ k  <_  x ,  A ( k ) is O( x). (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1fsum.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  V )
o1fsum.2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1fsum  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, k, ph
Allowed substitution hints:    A( k)    V( x, k)

Proof of Theorem o1fsum
Dummy variables  m  c  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1fsum.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O
( 1 ) )
2 nnssre 9766 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
32a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN  C_  RR )
4 o1fsum.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  V )
54, 1o1mptrcl 12112 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
6 1re 8853 . . . . 5  |-  1  e.  RR
76a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
83, 5, 7elo1mpt2 12025 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O ( 1 )  <->  E. c  e.  (
1 [,)  +oo ) E. m  e.  RR  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) ) )
91, 8mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( 1 [,)  +oo ) E. m  e.  RR  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )
10 rpssre 10380 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1110a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  RR+  C_  RR )
12 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ n A
13 nfcsb1v 3126 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ A
14 csbeq1a 3102 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  A  =  [_ n  /  k ]_ A )
1512, 13, 14cbvsumi 12186 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
[_ n  /  k ]_ A
16 fzfid 11051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  e.  Fin )
17 o1f 12019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  |->  A )  e.  O ( 1 )  ->  (
k  e.  NN  |->  A ) : dom  (
k  e.  NN  |->  A ) --> CC )
181, 17syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A ) : dom  ( k  e.  NN  |->  A ) --> CC )
194ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  A  e.  V )
20 dmmptg 5186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  V  ->  dom  (
k  e.  NN  |->  A )  =  NN )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( k  e.  NN  |->  A )  =  NN )
2221feq2d 5396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  NN  |->  A ) : dom  ( k  e.  NN  |->  A ) --> CC  <->  ( k  e.  NN  |->  A ) : NN --> CC ) )
2318, 22mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  A ) : NN --> CC )
24 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  |->  A )  =  ( k  e.  NN  |->  A )
2524fmpt 5697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  NN  A  e.  CC  <->  ( k  e.  NN  |->  A ) : NN --> CC )
2623, 25sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  A  e.  CC )
2726ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  A. k  e.  NN  A  e.  CC )
28 elfznn 10835 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2913nfel1 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ n  /  k ]_ A  e.  CC
3014eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC ) )
3129, 30rspc 2891 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  A  e.  CC  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
)
3231impcom 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  NN  A  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
3327, 28, 32syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
3416, 33fsumcl 12222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
[_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
3515, 34syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  e.  CC )
36 rpcn 10378 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
3736adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
38 rpne0 10385 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
3938adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0
)
4035, 37, 39divcld 9552 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x )  e.  CC )
41 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  c  e.  ( 1 [,)  +oo )
)
42 elicopnf 10755 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  1  <_ 
c ) ) )
436, 42ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  1  <_ 
c ) )
4441, 43sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  ( c  e.  RR  /\  1  <_ 
c ) )
4544simpld 445 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  c  e.  RR )
46 fzfid 11051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  c
) )  e.  Fin )
4726ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  A. k  e.  NN  A  e.  CC )
48 elfznn 10835 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) )  ->  n  e.  NN )
4947, 48, 32syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
5049abscld 11934 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
5146, 50fsumrecl 12223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
52 simplrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  m  e.  RR )
5351, 52readdcld 8878 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  e.  RR )
5435, 37, 39absdivd 11953 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  /  ( abs `  x ) ) )
5554adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  ( abs `  x ) ) )
56 rprege0 10384 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
5756ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
58 absid 11797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
5957, 58syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
6059oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  ( abs `  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x ) )
6155, 60eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x
) )
6235adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  e.  CC )
6362abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  e.  RR )
64 fzfid 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6547, 28, 32syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
6665adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  [_ n  / 
k ]_ A  e.  CC )
6766abscld 11934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
6864, 67fsumrecl 12223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
6957simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  x  e.  RR )
7051adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
7152adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  m  e.  RR )
7270, 71readdcld 8878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  e.  RR )
7369, 72remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) )  e.  RR )
7415fveq2i 5544 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
[_ n  /  k ]_ A )
7564, 66fsumabs 12275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
[_ n  /  k ]_ A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
7674, 75syl5eqbr 4072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
77 fzfid 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin )
78 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  c
) )  u.  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
79 flge1nn 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  RR  /\  1  <_  c )  -> 
( |_ `  c
)  e.  NN )
8044, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  ( |_ `  c )  e.  NN )
8180adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  NN )
8281nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  RR )
8345adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  c  e.  RR )
84 flle 10947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  RR  ->  ( |_ `  c )  <_ 
c )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  <_ 
c )
86 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  c  <_  x )
8782, 83, 69, 85, 86letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  <_  x )
88 fznnfl 10982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  c
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( ( |_ `  c )  e.  NN  /\  ( |_
`  c )  <_  x ) ) )
8969, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( ( |_ `  c )  e.  NN  /\  ( |_
`  c )  <_  x ) ) )
9081, 87, 89mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  c )  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
91 fzsplit 10832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  c )  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  c
) )  u.  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  c
) )  u.  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
9378, 92syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )
9493sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
9565abscld 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
9695adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
9794, 96syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  RR )
9877, 97fsumrecl 12223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
9969, 70remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  e.  RR )
10069, 71remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  m )  e.  RR )
10170recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  CC )
102101mulid2d 8869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )
1036a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  1  e.  RR )
10449absge0d 11942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
10546, 50, 104fsumge0 12269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
10651, 105jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
107106adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
10844simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  1  <_  c
)
109108adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  1  <_  c )
110103, 83, 69, 109, 86letrd 8989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  1  <_  x )
111 lemul1a 9626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR  /\  0  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )  /\  1  <_  x )  -> 
( 1  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )  <_ 
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) ) )
112103, 69, 107, 110, 111syl31anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
1  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  <_  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
113102, 112eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) ) )
114 hashcl 11366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  e. 
NN0 )
115 nn0re 9990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  ( (
( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
11677, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  e.  RR )
117116, 71remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( # `  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m )  e.  RR )
11871adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR )
119 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )
12081peano2nnd 9779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  NN )
121 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
122121uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( |_ `  c )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
123120, 122sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
124 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  A. k  e.  NN  ( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )
)
12583adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  c  e.  RR )
126 reflcl 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  RR  ->  ( |_ `  c )  e.  RR )
127 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  c )  e.  RR  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  RR )
128125, 126, 1273syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  c )  +  1 )  e.  RR )
129123nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  RR )
130 fllep1 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  RR  ->  c  <_  ( ( |_ `  c )  +  1 ) )
131125, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  c  <_  (
( |_ `  c
)  +  1 ) )
132 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  c )  +  1 )  <_  n
)
133132adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  c )  +  1 )  <_  n
)
134125, 128, 129, 131, 133letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  c  <_  n
)
135 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k  c  <_  n
136 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k abs
137136, 13nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)
138 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k  <_
139 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
m
140137, 138, 139nfbr 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m
141135, 140nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( c  <_  n  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
142 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
c  <_  k  <->  c  <_  n ) )
14314fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )
144143breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( abs `  A
)  <_  m  <->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  <_  m
) )
145142, 144imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )  <->  ( c  <_  n  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
) )
146141, 145rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )  ->  ( c  <_  n  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
) )
147123, 124, 134, 146syl3c 57 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  m )
148119, 147sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  <_  m
)
14977, 97, 118, 148fsumle 12273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) m )
15071recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  m  e.  CC )
151 fsumconst 12268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  m  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) m  =  ( (
# `  ( (
( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m ) )
15277, 150, 151syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) m  =  ( (
# `  ( (
( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m ) )
153149, 152breqtrd 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  x.  m ) )
154120nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ZZ )
155 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) ) )
156154, 155syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) ) )
157 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
158157a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  0  e.  RR )
15947, 31mpan9 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  n  e.  NN )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
160159adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  NN )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
161123, 160syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  [_ n  /  k ]_ A  e.  CC )
162161abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  e.  RR )
16371adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
164161absge0d 11942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  [_ n  / 
k ]_ A ) )
165158, 162, 163, 164, 147letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  m
)
166165ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) 0  <_  m )
167 biidd 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( ( |_
`  c )  +  1 )  ->  (
0  <_  m  <->  0  <_  m ) )
168167rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  c
)  +  1 ) )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  c )  +  1 ) ) 0  <_  m  ->  0  <_  m
) )
169156, 166, 168sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  0  <_  m )
170 reflcl 10944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
17169, 170syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
172 ssdomg 6923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin  ->  (
( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  ~<_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ) )
17364, 93, 172sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  ~<_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
174 hashdomi 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  ~<_  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  ->  ( # `  (
( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ) )
175173, 174syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ) )
176 flge0nn0 10964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
177 hashfz1 11361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
17857, 176, 1773syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  =  ( |_ `  x
) )
179175, 178breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  <_ 
( |_ `  x
) )
180 flle 10947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
18169, 180syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
182116, 171, 69, 179, 181letrd 8989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( # `
 ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  <_  x )
183116, 69, 71, 169, 182lemul1ad 9712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( # `  ( ( ( |_ `  c
)  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  x.  m )  <_ 
( x  x.  m
) )
18498, 117, 100, 153, 183letrd 8989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( x  x.  m ) )
18570, 98, 99, 100, 113, 184le2addd 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
) )  <_  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )  +  ( x  x.  m
) ) )
186 ltp1 9610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  c )  e.  RR  ->  ( |_ `  c )  < 
( ( |_ `  c )  +  1 ) )
187 fzdisj 10833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  c )  <  ( ( |_
`  c )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  c ) )  i^i  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
18882, 186, 1873syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  c ) )  i^i  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
18996recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
[_ n  /  k ]_ A )  e.  CC )
190188, 92, 64, 189fsumsplit 12228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  c )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) ) )
19137adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  x  e.  CC )
192191, 101, 150adddid 8875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) )  =  ( ( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A ) )  +  ( x  x.  m
) ) )
193185, 190, 1923brtr4d 4069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  <_  ( x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) ) )
19463, 68, 73, 76, 193letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A )  <_  (
x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) ) )
195 rpregt0 10383 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
196195ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
197 ledivmul 9645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  e.  RR  /\  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x
)  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  <_  ( x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) ) ) )
19863, 72, 196, 197syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( ( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  <_  ( x  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) ) ) )
199194, 198mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A )  /  x )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c ) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A
)  +  m ) )
20061, 199eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  /\  ( x  e.  RR+  /\  c  <_  x
) )  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  c
) ) ( abs `  [_ n  /  k ]_ A )  +  m
) )
20111, 40, 45, 53, 200elo1d 12026 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  /\  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) A  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
202201ex 423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  RR ) )  ->  ( A. k  e.  NN  ( c  <_  k  ->  ( abs `  A
)  <_  m )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O ( 1 ) ) )
203202rexlimdvva 2687 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 1 [,)  +oo ) E. m  e.  RR  A. k  e.  NN  (
c  <_  k  ->  ( abs `  A )  <_  m )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O ( 1 ) ) )
2049, 203mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) A  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   [_csb 3094    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   [,)cico 10674   ...cfz 10798   |_cfl 10940   #chash 11353   abscabs 11735   O ( 1 )co1 11976   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  selberg2lem  20715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175
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