MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1le Structured version   Unicode version

Theorem o1le 12446
Description: Transfer eventual boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1le.1  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
o1le.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
o1le.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1le.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
o1le.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  C
)  <_  ( abs `  B ) )
Assertion
Ref Expression
o1le  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem o1le
StepHypRef Expression
1 o1le.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
2 o1le.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
3 o1le.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
43, 2o1mptrcl 12416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
54lo1o12 12327 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
62, 5mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
7 fvex 5742 . . . 4  |-  ( abs `  B )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e. 
_V )
9 o1le.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
109abscld 12238 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
11 o1le.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  M  <_  x ) )  -> 
( abs `  C
)  <_  ( abs `  B ) )
121, 6, 8, 10, 11lo1le 12445 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  C
) )  e.  <_ O ( 1 ) )
139lo1o12 12327 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  C
) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
1412, 13mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454   CCcc 8988   RRcr 8989    <_ cle 9121   abscabs 12039   O ( 1 )co1 12280   <_ O ( 1 )clo1 12281
This theorem is referenced by:  vmadivsum  21176  dchrvmasumlem2  21192  dchrvmasumlem3  21193  dchrvmasumiflem2  21196  dchrisum0fno1  21205  dchrisum0re  21207  dchrisum0lem1  21210  dchrisum0lem3  21213  mudivsum  21224  mulog2sumlem2  21229  2vmadivsumlem  21234  selberglem2  21240  selberg2lem  21244  selberg3lem1  21251  selberg4lem1  21254  pntrsumo1  21259  pntrlog2bndlem2  21272  pntrlog2bndlem3  21273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-o1 12284  df-lo1 12285
  Copyright terms: Public domain W3C validator