Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1resb Unicode version

Theorem o1resb 12289
 Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1
rlimresb.2
rlimresb.3
Assertion
Ref Expression
o1resb

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 12283 . 2
2 rlimresb.1 . . . . . . 7
32feqmptd 5720 . . . . . 6
43reseq1d 5087 . . . . 5
5 resmpt3 5134 . . . . 5
64, 5syl6eq 2437 . . . 4
76eleq1d 2455 . . 3
8 inss1 3506 . . . . . 6
9 rlimresb.2 . . . . . 6
108, 9syl5ss 3304 . . . . 5
118sseli 3289 . . . . . 6
12 ffvelrn 5809 . . . . . 6
132, 11, 12syl2an 464 . . . . 5
1410, 13elo1mpt 12257 . . . 4
15 elin 3475 . . . . . . . . . 10
1615imbi1i 316 . . . . . . . . 9
17 impexp 434 . . . . . . . . 9
1816, 17bitri 241 . . . . . . . 8
19 impexp 434 . . . . . . . . . 10
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
229adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322sselda 3293 . . . . . . . . . . . . . 14
24 elicopnf 10934 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524baibd 876 . . . . . . . . . . . . . 14
2621, 23, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
2726anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12
28 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13
29 maxle 10712 . . . . . . . . . . . . 13
3021, 28, 23, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
3127, 30bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11
3231imbi1d 309 . . . . . . . . . 10
3319, 32syl5bbr 251 . . . . . . . . 9
3433pm5.74da 669 . . . . . . . 8
3518, 34syl5bb 249 . . . . . . 7
3635ralbidv2 2673 . . . . . 6
372adantr 452 . . . . . . 7
38 simprl 733 . . . . . . . 8
3920adantr 452 . . . . . . . 8
40 ifcl 3720 . . . . . . . 8
4138, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . 7
42 simprr 734 . . . . . . 7
43 elo12r 12251 . . . . . . . 8
44433expia 1155 . . . . . . 7
4537, 22, 41, 42, 44syl22anc 1185 . . . . . 6
4636, 45sylbid 207 . . . . 5
4746rexlimdvva 2782 . . . 4
4814, 47sylbid 207 . . 3
497, 48sylbid 207 . 2
501, 49impbid2 196 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wcel 1717  wral 2651  wrex 2652   cin 3264   wss 3265  cif 3684   class class class wbr 4155   cmpt 4209   cres 4822  wf 5392  cfv 5396  (class class class)co 6022  cc 8923  cr 8924   cpnf 9052   cle 9056  cico 10852  cabs 11968  co1 12209 This theorem is referenced by:  chpo1ub  21043  dchrisum0lem2a  21080  pntrsumo1  21128 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-ico 10856  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-o1 12213  df-lo1 12214
 Copyright terms: Public domain W3C validator