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Theorem o1resb 12289
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
rlimresb.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
rlimresb.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
o1resb  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 12283 . 2  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) )
2 rlimresb.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
32feqmptd 5720 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
43reseq1d 5087 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,)  +oo )
) )
5 resmpt3 5134 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )
64, 5syl6eq 2437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) ) )
76eleq1d 2455 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  e.  O ( 1 )  <->  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 ) ) )
8 inss1 3506 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  A
9 rlimresb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
108, 9syl5ss 3304 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  C_  RR )
118sseli 3289 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  ->  x  e.  A )
12 ffvelrn 5809 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
132, 11, 12syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1410, 13elo1mpt 12257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 )  <->  E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
15 elin 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) ) )
1615imbi1i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
17 impexp 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) ) )
1816, 17bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  <-> 
( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) ) )
19 impexp 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )  <->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  (
y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) )
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
229adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
2322sselda 3293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
24 elicopnf 10934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  RR  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  B  <_  x ) ) )
2524baibd 876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  B  <_  x ) )
2621, 23, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  ( B [,)  +oo )  <->  B  <_  x ) )
2726anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
28 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
29 maxle 10712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3021, 28, 23, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  <->  ( B  <_  x  /\  y  <_  x ) ) )
3127, 30bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x )  <-> 
if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  <_  x
) )
3231imbi1d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  ( B [,)  +oo )  /\  y  <_  x
)  ->  ( abs `  ( F `  x
) )  <_  z
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
3319, 32syl5bbr 251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
3433pm5.74da 669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  ( B [,)  +oo )  ->  ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) ) ) )
3518, 34syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  -> 
( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  z )
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) ) )
3635ralbidv2 2673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  <->  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z ) ) )
372adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  F : A --> CC )
38 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
y  e.  RR )
3920adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
40 ifcl 3720 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  if ( B  <_ 
y ,  y ,  B )  e.  RR )
4138, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  e.  RR )
42 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
z  e.  RR )
43 elo12r 12251 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y ,  y ,  B
)  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z ) )  ->  F  e.  O
( 1 ) )
44433expia 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
4537, 22, 41, 42, 44syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( if ( B  <_  y , 
y ,  B )  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_ 
z )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
4636, 45sylbid 207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  ->  F  e.  O (
1 ) ) )
4746rexlimdvva 2782 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) ) ( y  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  z )  ->  F  e.  O (
1 ) ) )
4814, 47sylbid 207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  i^i  ( B [,)  +oo ) )  |->  ( F `  x ) )  e.  O ( 1 )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
497, 48sylbid 207 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B [,)  +oo )
)  e.  O ( 1 )  ->  F  e.  O ( 1 ) ) )
501, 49impbid2 196 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  O
( 1 )  <->  ( F  |`  ( B [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    i^i cin 3264    C_ wss 3265   ifcif 3684   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209    |` cres 4822   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924    +oocpnf 9052    <_ cle 9056   [,)cico 10852   abscabs 11968   O (
1 )co1 12209
This theorem is referenced by:  chpo1ub  21043  dchrisum0lem2a  21080  pntrsumo1  21128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-ico 10856  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-o1 12213  df-lo1 12214
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