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Theorem o1rlimmul 12092
Description: The product of a eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1rlimmul  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( F  o F  x.  G )  ~~> r  0 )

Proof of Theorem o1rlimmul
Dummy variables  x  y  z  a  b  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 12003 . . . . 5  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  F : dom  F --> CC )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  F : dom  F --> CC )
3 ffn 5389 . . . 4  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  F  Fn  dom  F )
5 rlimf 11975 . . . . 5  |-  ( G  ~~> r  0  ->  G : dom  G --> CC )
65adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G : dom  G --> CC )
7 ffn 5389 . . . 4  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G  Fn  dom  G )
9 o1dm 12004 . . . . 5  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  F  C_  RR )
11 reex 8828 . . . 4  |-  RR  e.  _V
12 ssexg 4160 . . . 4  |-  ( ( dom  F  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
1310, 11, 12sylancl 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  F  e.  _V )
14 rlimss 11976 . . . . 5  |-  ( G  ~~> r  0  ->  dom  G 
C_  RR )
1514adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  G  C_  RR )
16 ssexg 4160 . . . 4  |-  ( ( dom  G  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  dom  G  e.  _V )
1715, 11, 16sylancl 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  dom  G  e.  _V )
18 eqid 2283 . . 3  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
19 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
20 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
214, 8, 13, 17, 18, 19, 20offval 6085 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( F  o F  x.  G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
22 o1bdd 12005 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  F : dom  F --> CC )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
231, 22mpdan 649 . . . . . 6  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e. 
dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m ) )
2423ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m ) )
25 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
2625a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
2726ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  A. x  e.  dom  G ( G `
 x )  e. 
_V )
28 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  y  e.  RR+ )
29 recn 8827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  RR  ->  m  e.  CC )
3029ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  m  e.  CC )
3130abscld 11918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( abs `  m )  e.  RR )
3230absge0d 11926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  0  <_  ( abs `  m ) )
3331, 32ge0p1rpd 10416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR+ )
3428, 33rpdivcld 10407 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  e.  RR+ )
356feqmptd 5575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G  =  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `
 x ) ) )
36 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  G 
~~> r  0 )
3735, 36eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  ~~> r  0 )
3837ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `
 x ) )  ~~> r  0 )
3927, 34, 38rlimi 11987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  E. b  e.  RR  A. x  e. 
dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )
40 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
41 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( A. x  e. 
dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m ) ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )
)
43 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
44 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( A. x  e. 
dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )
4642, 45anim12i 549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  /\  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
47 r19.26 2675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  /\  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
4846, 47sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  /\  (
b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
49 prth 554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
5049ralimi 2618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
5148, 50syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
52 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  a  e.  RR )
53 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  b  e.  RR )
5440, 10syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( dom  F  i^i  dom 
G )  C_  RR )
5554ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  RR )
56 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )
5755, 56sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  RR )
58 maxle 10519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  <->  ( a  <_  x  /\  b  <_  x ) ) )
5952, 53, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  <->  ( a  <_  x  /\  b  <_  x ) ) )
6059biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  ->  (
a  <_  x  /\  b  <_  x ) ) )
616ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  G : dom  G --> CC )
6243sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  G )
6362ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  dom  G )
64 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
6561, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
6665subid1d 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( G `
 x )  - 
0 )  =  ( G `  x ) )
6766fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  =  ( abs `  ( G `  x
) ) )
6867breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  <-> 
( abs `  ( G `  x )
)  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
6965abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  e.  RR )
7034adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7170rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR )
72 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( G `  x
) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  <_  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
7369, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  x
) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  <_  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
7468, 73sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( G `  x )
)  <_  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )
7574anim2d 548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 x ) )  <_  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) ) )
762ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  F : dom  F --> CC )
7740sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  F )
7877ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  x  e.  dom  F )
79 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8076, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8180abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  e.  RR )
8280absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) )
8381, 82jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
84 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  e.  RR )
8565absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( G `  x ) ) )
8669, 85jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  x
) ) ) )
87 lemul12a 9614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )  /\  m  e.  RR )  /\  ( ( ( abs `  ( G `  x
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( G `  x
) ) )  /\  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) )  e.  RR ) )  ->  ( (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( G `
 x ) )  <_  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  x.  ( abs `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
8883, 84, 86, 71, 87syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( G `  x ) )  <_ 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  x.  ( abs `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
8980, 65absmuld 11936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 x ) )  x.  ( abs `  ( G `  x )
) ) )
9089breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  <->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  x.  ( abs `  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) ) )
9184recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  e.  CC )
9228adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
9392rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  y  e.  CC )
9433adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR+ )
9594rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  CC )
9694rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  =/=  0 )
9791, 93, 95, 96divassd 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( m  x.  y )  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  =  ( m  x.  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )
98 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( abs `  m )  e.  RR  ->  (
( abs `  m
)  +  1 )  e.  RR )
9931, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  m )  +  1 )  e.  RR )
10131adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  m
)  e.  RR )
10284leabsd 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  <_  ( abs `  m ) )
103101ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  m
)  <  ( ( abs `  m )  +  1 ) )
10484, 101, 100, 102, 103lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  m  <  (
( abs `  m
)  +  1 ) )
10584, 100, 92, 104ltmul1dd 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  y )  <  (
( ( abs `  m
)  +  1 )  x.  y ) )
10692rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  y  e.  RR )
10784, 106remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  y )  e.  RR )
108107, 106, 94ltdivmuld 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( m  x.  y )  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) )  <  y  <->  ( m  x.  y )  <  ( ( ( abs `  m )  +  1 )  x.  y ) ) )
109105, 108mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( m  x.  y )  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) )  <  y )
11097, 109eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  <  y
)
11180, 65mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) )  e.  CC )
112111abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  e.  RR )
11384, 71remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( m  x.  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
114 lelttr 8912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  ( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  /\  ( m  x.  (
y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
115112, 113, 106, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  <_  ( m  x.  ( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  /\  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )
116110, 115mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
11790, 116sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  x.  ( abs `  ( G `  x )
) )  <_  (
m  x.  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
11875, 88, 1173syld 51 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )
11960, 118imim12d 68 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  ( b  e.  RR  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ) )  ->  ( ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  -> 
( ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
120119anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR  /\  m  e.  RR ) )  /\  b  e.  RR )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  -> 
( ( ( a  <_  x  /\  b  <_  x )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <_  m  /\  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
121120ralimdva 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  /\  b  <_  x
)  ->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m  /\  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) ) )
122 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  b  e.  RR )
123 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
124 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR )
125122, 123, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR )
126121, 125jctild 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( ( a  <_  x  /\  b  <_  x
)  ->  ( ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m  /\  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  e.  RR  /\  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
127 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( z  <_  x  <->  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x )
)
128127imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y )  <-> 
( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
129128ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  if ( a  <_  b ,  b ,  a )  -> 
( A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y )  <->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( if ( a  <_  b ,  b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  <  y ) ) )
130129rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  b ,  a )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) ( if ( a  <_  b , 
b ,  a )  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
13151, 126, 130syl56 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  /\  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  (
( G `  x
)  -  0 ) )  <  ( y  /  ( ( abs `  m )  +  1 ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
132131exp3acom23 1362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  /\  b  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `  x )  -  0 ) )  <  ( y  / 
( ( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
133132rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( E. b  e.  RR  A. x  e.  dom  G ( b  <_  x  ->  ( abs `  ( ( G `
 x )  - 
0 ) )  < 
( y  /  (
( abs `  m
)  +  1 ) ) )  ->  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x )
)  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
13439, 133mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR  /\  m  e.  RR )
)  ->  ( A. x  e.  dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `
 x ) )  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
135134rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( E. a  e.  RR  E. m  e.  RR  A. x  e. 
dom  F ( a  <_  x  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  <_  m )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) ) )
13624, 135mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
137136ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) )
1382, 77, 79syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  ->  ( F `  x )  e.  CC )
1396, 62, 64syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  ->  ( G `  x )  e.  CC )
140138, 139mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  O
( 1 )  /\  G 
~~> r  0 )  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  ->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) )  e.  CC )
141140ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  ->  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
) ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) )  e.  CC )
142141, 54rlim0 11982 . . 3  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  ~~> r  0  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  < 
y ) ) )
143137, 142mpbird 223 . 2  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  ~~> r  0 )
14421, 143eqbrtrd 4043 1  |-  ( ( F  e.  O ( 1 )  /\  G  ~~> r  0 )  -> 
( F  o F  x.  G )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   RR+crp 10354   abscabs 11719    ~~> r crli 11959   O ( 1 )co1 11960
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  20623  chpchtlim  20628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rlim 11963  df-o1 11964
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