MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1sub2 Unicode version

Theorem o1sub2 12099
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
o1add2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
o1add2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
o1add2.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
Assertion
Ref Expression
o1sub2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem o1sub2
StepHypRef Expression
1 o1add2.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
21ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
3 dmmptg 5170 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
5 o1add2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 ) )
6 o1dm 12004 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
84, 7eqsstr3d 3213 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 reex 8828 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
109ssex 4158 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
118, 10syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
12 o1add2.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
13 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
14 eqidd 2284 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1511, 1, 12, 13, 14offval2 6095 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C ) ) )
16 o1add2.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )
17 o1sub 12089 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O
( 1 ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  (
x  e.  A  |->  C ) )  e.  O
( 1 ) )
185, 16, 17syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  o F  -  ( x  e.  A  |->  C ) )  e.  O ( 1 ) )
1915, 18eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e.  O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   dom cdm 4689  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   RRcr 8736    - cmin 9037   O (
1 )co1 11960
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  20685  selberg2lem  20699  pntrmax  20713  pntrsumo1  20714  selberg3r  20718  pntrlog2bndlem4  20729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-o1 11964
  Copyright terms: Public domain W3C validator