MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaabs2 Unicode version

Theorem oaabs2 6643
Description: The absorption law oaabs 6642 is also a property of higher powers of  om. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oaabs2  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( A  +o  B )  =  B )

Proof of Theorem oaabs2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3460 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( om  ^o  C )  ->  -.  ( om  ^o  C )  =  (/) )
2 fnoe 6509 . . . . . . . . 9  |-  ^o  Fn  ( On  X.  On )
3 fndm 5343 . . . . . . . . 9  |-  (  ^o  Fn  ( On  X.  On )  ->  dom  ^o  =  ( On  X.  On ) )
42, 3ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  dom  ^o  =  ( On  X.  On )
54ndmov 6004 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( om  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( om  ^o  C )  =  (/) )
61, 5nsyl2 119 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( om  ^o  C )  ->  ( om  e.  On  /\  C  e.  On ) )
76ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( om  e.  On  /\  C  e.  On ) )
8 oecl 6536 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( om  ^o  C
)  e.  On )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( om  ^o  C )  e.  On )
10 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  B  e.  On )
11 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( om  ^o  C )  C_  B
)
12 oawordeu 6553 . . . 4  |-  ( ( ( ( om  ^o  C )  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  E! x  e.  On  ( ( om 
^o  C )  +o  x )  =  B )
139, 10, 11, 12syl21anc 1181 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  E! x  e.  On  ( ( om 
^o  C )  +o  x )  =  B )
14 reurex 2754 . . 3  |-  ( E! x  e.  On  (
( om  ^o  C
)  +o  x )  =  B  ->  E. x  e.  On  ( ( om 
^o  C )  +o  x )  =  B )
1513, 14syl 15 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  E. x  e.  On  ( ( om 
^o  C )  +o  x )  =  B )
16 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  A  e.  ( om  ^o  C ) )
17 onelon 4417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( om  ^o  C
)  e.  On  /\  A  e.  ( om  ^o  C ) )  ->  A  e.  On )
189, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  A  e.  On )
1918adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  x  e.  On )  ->  A  e.  On )
209adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  x  e.  On )  ->  ( om  ^o  C )  e.  On )
21 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  x  e.  On )  ->  x  e.  On )
22 oaass 6559 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( om  ^o  C )  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  (
( A  +o  ( om  ^o  C ) )  +o  x )  =  ( A  +o  (
( om  ^o  C
)  +o  x ) ) )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  x  e.  On )  ->  (
( A  +o  ( om  ^o  C ) )  +o  x )  =  ( A  +o  (
( om  ^o  C
)  +o  x ) ) )
247simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  C  e.  On )
25 eloni 4402 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  On  ->  Ord  C )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  Ord  C )
27 ordzsl 4636 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
C  <->  ( C  =  (/)  \/  E. x  e.  On  C  =  suc  x  \/  Lim  C ) )
2826, 27sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( C  =  (/)  \/  E. x  e.  On  C  =  suc  x  \/  Lim  C ) )
29 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  C  =  (/) )  ->  A  e.  ( om  ^o  C
) )
30 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  (/)  ->  ( om 
^o  C )  =  ( om  ^o  (/) ) )
317simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  om  e.  On )
32 oe0 6521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  (/) )  =  1o )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( om  ^o  (/) )  =  1o )
3430, 33sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  C  =  (/) )  ->  ( om  ^o  C )  =  1o )
3529, 34eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  C  =  (/) )  ->  A  e.  1o )
36 el1o 6498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  1o  <->  A  =  (/) )
3735, 36sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
3837oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  C  =  (/) )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  =  ( (/)  +o  ( om  ^o  C ) ) )
399adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  C  =  (/) )  ->  ( om  ^o  C )  e.  On )
40 oa0r 6537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om  ^o  C )  e.  On  ->  ( (/) 
+o  ( om  ^o  C ) )  =  ( om  ^o  C
) )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  C  =  (/) )  ->  ( (/) 
+o  ( om  ^o  C ) )  =  ( om  ^o  C
) )
4238, 41eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  C  =  (/) )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  =  ( om  ^o  C
) )
4342ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( C  =  (/)  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C
) )  =  ( om  ^o  C ) ) )
4431adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  om  e.  On )
45 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  x  e.  On )
46 oecl 6536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( om  ^o  x
)  e.  On )
4744, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  ( om  ^o  x )  e.  On )
48 limom 4671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Lim  om
4944, 48jctir 524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  ( om  e.  On  /\  Lim  om ) )
50 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  A  e.  ( om  ^o  C ) )
51 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  C  =  suc  x )
5251oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  ( om  ^o  C )  =  ( om  ^o  suc  x
) )
53 oesuc 6526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( om  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( om  ^o  suc  x )  =  ( ( om  ^o  x
)  .o  om )
)
5444, 45, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  ( om  ^o 
suc  x )  =  ( ( om  ^o  x )  .o  om ) )
5552, 54eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  ( om  ^o  C )  =  ( ( om  ^o  x
)  .o  om )
)
5650, 55eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  om ) )
57 omordlim 6575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( om  ^o  x )  e.  On  /\  ( om  e.  On  /\ 
Lim  om ) )  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o 
om ) )  ->  E. y  e.  om  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y ) )
5847, 49, 56, 57syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  E. y  e.  om  A  e.  ( ( om  ^o  x
)  .o  y ) )
5947adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( om  ^o  x
)  e.  On )
60 nnon 4662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  On )
6160ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
y  e.  On )
62 omcl 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( om  ^o  x
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( om  ^o  x )  .o  y
)  e.  On )
6359, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( ( om  ^o  x )  .o  y
)  e.  On )
64 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( om  ^o  x
)  .o  y )  e.  On  ->  Ord  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  ->  Ord  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) )
66 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  ->  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y ) )
67 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  ( ( om 
^o  x )  .o  y )  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) )  ->  A  C_  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) )
6865, 66, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  ->  A  C_  ( ( om 
^o  x )  .o  y ) )
6918ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  ->  A  e.  On )
709ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( om  ^o  C
)  e.  On )
71 oawordri 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( om  ^o  x )  .o  y
)  e.  On  /\  ( om  ^o  C )  e.  On )  -> 
( A  C_  (
( om  ^o  x
)  .o  y )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  C_  ( (
( om  ^o  x
)  .o  y )  +o  ( om  ^o  C ) ) ) )
7269, 63, 70, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( A  C_  (
( om  ^o  x
)  .o  y )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  C_  ( (
( om  ^o  x
)  .o  y )  +o  ( om  ^o  C ) ) ) )
7368, 72mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( A  +o  ( om  ^o  C ) ) 
C_  ( ( ( om  ^o  x )  .o  y )  +o  ( om  ^o  C
) ) )
7444adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  ->  om  e.  On )
75 odi 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( om  ^o  x
)  e.  On  /\  y  e.  On  /\  om  e.  On )  ->  (
( om  ^o  x
)  .o  ( y  +o  om ) )  =  ( ( ( om  ^o  x )  .o  y )  +o  ( ( om  ^o  x )  .o  om ) ) )
7659, 61, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( ( om  ^o  x )  .o  (
y  +o  om )
)  =  ( ( ( om  ^o  x
)  .o  y )  +o  ( ( om 
^o  x )  .o 
om ) ) )
77 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
y  e.  om )
78 oaabslem 6641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( om  e.  On  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  om )  =  om )
7974, 77, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( y  +o  om )  =  om )
8079oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( ( om  ^o  x )  .o  (
y  +o  om )
)  =  ( ( om  ^o  x )  .o  om ) )
8176, 80eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( ( ( om 
^o  x )  .o  y )  +o  (
( om  ^o  x
)  .o  om )
)  =  ( ( om  ^o  x )  .o  om ) )
8255adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( om  ^o  C
)  =  ( ( om  ^o  x )  .o  om ) )
8382oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( ( ( om 
^o  x )  .o  y )  +o  ( om  ^o  C ) )  =  ( ( ( om  ^o  x )  .o  y )  +o  ( ( om  ^o  x )  .o  om ) ) )
8481, 83, 823eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( ( ( om 
^o  x )  .o  y )  +o  ( om  ^o  C ) )  =  ( om  ^o  C ) )
8573, 84sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
) ) )  -> 
( A  +o  ( om  ^o  C ) ) 
C_  ( om  ^o  C ) )
8685expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  /\  y  e. 
om )  ->  ( A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  C_  ( om  ^o  C ) ) )
8786rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  ( E. y  e.  om  A  e.  ( ( om  ^o  x )  .o  y
)  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C
) )  C_  ( om  ^o  C ) ) )
8858, 87mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C
) )  C_  ( om  ^o  C ) )
89 oaword2 6551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( om  ^o  C
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( om  ^o  C
)  C_  ( A  +o  ( om  ^o  C
) ) )
909, 18, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( om  ^o  C )  C_  ( A  +o  ( om  ^o  C ) ) )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  ( om  ^o  C )  C_  ( A  +o  ( om  ^o  C ) ) )
9288, 91eqssd 3196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  (
x  e.  On  /\  C  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C
) )  =  ( om  ^o  C ) )
9392expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  x  e.  On )  ->  ( C  =  suc  x  -> 
( A  +o  ( om  ^o  C ) )  =  ( om  ^o  C ) ) )
9493rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( E. x  e.  On  C  =  suc  x  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  =  ( om  ^o  C
) ) )
95 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  A  e.  ( om  ^o  C ) )
9631adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  om  e.  On )
9724adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  C  e.  On )
98 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  Lim  C )
99 oelim2 6593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( C  e.  On  /\ 
Lim  C ) )  ->  ( om  ^o  C )  =  U_ x  e.  ( C  \  1o ) ( om 
^o  x ) )
10096, 97, 98, 99syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  ( om  ^o  C )  =  U_ x  e.  ( C  \  1o ) ( om 
^o  x ) )
10195, 100eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  A  e.  U_ x  e.  ( C 
\  1o ) ( om  ^o  x ) )
102 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  U_ x  e.  ( C  \  1o ) ( om  ^o  x )  <->  E. x  e.  ( C  \  1o ) A  e.  ( om  ^o  x ) )
103101, 102sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  E. x  e.  ( C  \  1o ) A  e.  ( om  ^o  x ) )
104 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( C  \  1o )  ->  x  e.  C )
10518ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  ->  A  e.  On )
1069ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  -> 
( om  ^o  C
)  e.  On )
10796adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  ->  om  e.  On )
108 1onn 6637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1o  e.  om
109108a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  ->  1o  e.  om )
110 ondif2 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( om  e.  ( On  \  2o )  <->  ( om  e.  On  /\  1o  e.  om ) )
111107, 109, 110sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  ->  om  e.  ( On  \  2o ) )
11297adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  ->  C  e.  On )
113 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  ->  Lim  C )
114 oelimcl 6598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( om  e.  ( On 
\  2o )  /\  ( C  e.  On  /\ 
Lim  C ) )  ->  Lim  ( om  ^o  C ) )
115111, 112, 113, 114syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  ->  Lim  ( om  ^o  C
) )
116 oalim 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( om  ^o  C )  e.  On  /\ 
Lim  ( om  ^o  C ) ) )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  =  U_ y  e.  ( om  ^o  C
) ( A  +o  y ) )
117105, 106, 115, 116syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  -> 
( A  +o  ( om  ^o  C ) )  =  U_ y  e.  ( om  ^o  C
) ( A  +o  y ) )
118 oelim2 6593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( C  e.  On  /\ 
Lim  C ) )  ->  ( om  ^o  C )  =  U_ z  e.  ( C  \  1o ) ( om 
^o  z ) )
11996, 97, 98, 118syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  ( om  ^o  C )  =  U_ z  e.  ( C  \  1o ) ( om 
^o  z ) )
120119eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  ( y  e.  ( om  ^o  C
)  <->  y  e.  U_ z  e.  ( C  \  1o ) ( om 
^o  z ) ) )
121 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  U_ z  e.  ( C  \  1o ) ( om  ^o  z )  <->  E. z  e.  ( C  \  1o ) y  e.  ( om  ^o  z ) )
122120, 121syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  ( y  e.  ( om  ^o  C
)  <->  E. z  e.  ( C  \  1o ) y  e.  ( om 
^o  z ) ) )
123122adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  -> 
( y  e.  ( om  ^o  C )  <->  E. z  e.  ( C  \  1o ) y  e.  ( om  ^o  z ) ) )
124 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( C  \  1o )  ->  z  e.  C )
125107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  om  e.  On )
126112adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  C  e.  On )
127 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  x  e.  C )
128 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( C  e.  On  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  On )
129126, 127, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  x  e.  On )
130125, 129, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( om  ^o  x
)  e.  On )
131 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( om  ^o  x )  e.  On  ->  Ord  ( om  ^o  x ) )
132130, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  Ord  ( om  ^o  x
) )
133 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  A  e.  ( om  ^o  x ) )
134 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Ord  ( om  ^o  x )  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) )  ->  A  C_  ( om  ^o  x
) )
135132, 133, 134syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  A  C_  ( om  ^o  x ) )
136 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  x  C_  ( x  u.  z
)
13726ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  Ord  C )
138 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
z  e.  C )
139 ordunel 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( Ord  C  /\  x  e.  C  /\  z  e.  C )  ->  (
x  u.  z )  e.  C )
140137, 127, 138, 139syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( x  u.  z
)  e.  C )
141 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( C  e.  On  /\  ( x  u.  z
)  e.  C )  ->  ( x  u.  z )  e.  On )
142126, 140, 141syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( x  u.  z
)  e.  On )
143 peano1 4675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  (/)  e.  om
144143a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  (/) 
e.  om )
145 oewordi 6589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  ( x  u.  z
)  e.  On  /\  om  e.  On )  /\  (/) 
e.  om )  ->  (
x  C_  ( x  u.  z )  ->  ( om  ^o  x )  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z ) ) ) )
146129, 142, 125, 144, 145syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( x  C_  (
x  u.  z )  ->  ( om  ^o  x )  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z ) ) ) )
147136, 146mpi 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( om  ^o  x
)  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z
) ) )
148135, 147sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  A  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z
) ) )
149105adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  A  e.  On )
150 oecl 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( x  u.  z
)  e.  On )  ->  ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  e.  On )
151125, 142, 150syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( om  ^o  (
x  u.  z ) )  e.  On )
152 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( C  e.  On  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  On )
153126, 138, 152syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
z  e.  On )
154 oecl 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( om  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( om  ^o  z
)  e.  On )
155125, 153, 154syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( om  ^o  z
)  e.  On )
156 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
y  e.  ( om 
^o  z ) )
157 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( om  ^o  z
)  e.  On  /\  y  e.  ( om  ^o  z ) )  -> 
y  e.  On )
158155, 156, 157syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
y  e.  On )
159 oawordri 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  ->  ( A  +o  y )  C_  ( ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  +o  y
) ) )
160149, 151, 158, 159syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( A  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  -> 
( A  +o  y
)  C_  ( ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  +o  y ) ) )
161148, 160mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( A  +o  y
)  C_  ( ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  +o  y ) )
162 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( om  ^o  z )  e.  On  ->  Ord  ( om  ^o  z ) )
163155, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  Ord  ( om  ^o  z
) )
164 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Ord  ( om  ^o  z )  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) )  ->  y  C_  ( om  ^o  z
) )
165163, 156, 164syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
y  C_  ( om  ^o  z ) )
166 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  z  C_  ( x  u.  z
)
167 oewordi 6589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( z  e.  On  /\  ( x  u.  z
)  e.  On  /\  om  e.  On )  /\  (/) 
e.  om )  ->  (
z  C_  ( x  u.  z )  ->  ( om  ^o  z )  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z ) ) ) )
168153, 142, 125, 144, 167syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( z  C_  (
x  u.  z )  ->  ( om  ^o  z )  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z ) ) ) )
169166, 168mpi 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( om  ^o  z
)  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z
) ) )
170165, 169sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
y  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z
) ) )
171 oaword 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  e.  On  /\  ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  e.  On )  ->  (
y  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  <->  ( ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  +o  y )  C_  (
( om  ^o  (
x  u.  z ) )  +o  ( om 
^o  ( x  u.  z ) ) ) ) )
172158, 151, 151, 171syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( y  C_  ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  <->  ( ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  +o  y )  C_  (
( om  ^o  (
x  u.  z ) )  +o  ( om 
^o  ( x  u.  z ) ) ) ) )
173170, 172mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  +o  y
)  C_  ( ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  +o  ( om  ^o  (
x  u.  z ) ) ) )
174161, 173sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( A  +o  y
)  C_  ( ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  +o  ( om  ^o  (
x  u.  z ) ) ) )
175 ordom 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  Ord  om
176 ordsucss 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( Ord 
om  ->  ( 1o  e.  om 
->  suc  1o  C_  om )
)
177175, 108, 176mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  suc  1o  C_ 
om
178 1on 6486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  1o  e.  On
179 suceloni 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 1o  e.  On  ->  suc  1o  e.  On )
180178, 179mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  suc  1o  e.  On )
181 omwordi 6569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( suc  1o  e.  On  /\ 
om  e.  On  /\  ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  e.  On )  -> 
( suc  1o  C_  om  ->  ( ( om  ^o  (
x  u.  z ) )  .o  suc  1o )  C_  ( ( om 
^o  ( x  u.  z ) )  .o 
om ) ) )
182180, 125, 151, 181syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( suc  1o  C_  om  ->  ( ( om  ^o  (
x  u.  z ) )  .o  suc  1o )  C_  ( ( om 
^o  ( x  u.  z ) )  .o 
om ) ) )
183177, 182mpi 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  .o  suc  1o )  C_  ( ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  .o 
om ) )
184178a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  1o  e.  On )
185 omsuc 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( om  ^o  (
x  u.  z ) )  e.  On  /\  1o  e.  On )  -> 
( ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  .o  suc  1o )  =  ( ( ( om  ^o  (
x  u.  z ) )  .o  1o )  +o  ( om  ^o  ( x  u.  z
) ) ) )
186151, 184, 185syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  .o  suc  1o )  =  ( ( ( om  ^o  (
x  u.  z ) )  .o  1o )  +o  ( om  ^o  ( x  u.  z
) ) ) )
187 om1 6540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( om  ^o  ( x  u.  z ) )  e.  On  ->  (
( om  ^o  (
x  u.  z ) )  .o  1o )  =  ( om  ^o  ( x  u.  z
) ) )
188151, 187syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  .o  1o )  =  ( om  ^o  ( x  u.  z
) ) )
189188oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( ( ( om 
^o  ( x  u.  z ) )  .o  1o )  +o  ( om  ^o  ( x  u.  z ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( x  u.  z ) )  +o  ( om  ^o  (
x  u.  z ) ) ) )
190186, 189eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  +o  ( om  ^o  ( x  u.  z ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( x  u.  z ) )  .o 
suc  1o ) )
191 oesuc 6526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( x  u.  z
)  e.  On )  ->  ( om  ^o  suc  ( x  u.  z
) )  =  ( ( om  ^o  (
x  u.  z ) )  .o  om )
)
192125, 142, 191syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( om  ^o  suc  ( x  u.  z
) )  =  ( ( om  ^o  (
x  u.  z ) )  .o  om )
)
193183, 190, 1923sstr4d 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( ( om  ^o  ( x  u.  z
) )  +o  ( om  ^o  ( x  u.  z ) ) ) 
C_  ( om  ^o  suc  ( x  u.  z
) ) )
194174, 193sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( A  +o  y
)  C_  ( om  ^o 
suc  ( x  u.  z ) ) )
195 ordsucss 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Ord 
C  ->  ( (
x  u.  z )  e.  C  ->  suc  ( x  u.  z
)  C_  C )
)
196137, 140, 195sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  suc  ( x  u.  z
)  C_  C )
197 suceloni 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  u.  z )  e.  On  ->  suc  ( x  u.  z
)  e.  On )
198142, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  ->  suc  ( x  u.  z
)  e.  On )
199 oewordi 6589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( suc  ( x  u.  z )  e.  On  /\  C  e.  On  /\  om  e.  On )  /\  (/)  e.  om )  ->  ( suc  (
x  u.  z ) 
C_  C  ->  ( om  ^o  suc  ( x  u.  z ) ) 
C_  ( om  ^o  C ) ) )
200198, 126, 125, 144, 199syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( suc  ( x  u.  z )  C_  C  ->  ( om  ^o  suc  ( x  u.  z
) )  C_  ( om  ^o  C ) ) )
201196, 200mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( om  ^o  suc  ( x  u.  z
) )  C_  ( om  ^o  C ) )
202194, 201sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  ( z  e.  C  /\  y  e.  ( om  ^o  z
) ) )  -> 
( A  +o  y
)  C_  ( om  ^o  C ) )
203202expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  z  e.  C )  ->  (
y  e.  ( om 
^o  z )  -> 
( A  +o  y
)  C_  ( om  ^o  C ) ) )
204124, 203sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ( om 
^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C
)  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x ) ) )  /\  z  e.  ( C  \  1o ) )  ->  (
y  e.  ( om 
^o  z )  -> 
( A  +o  y
)  C_  ( om  ^o  C ) ) )
205204rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  -> 
( E. z  e.  ( C  \  1o ) y  e.  ( om  ^o  z )  ->  ( A  +o  y )  C_  ( om  ^o  C ) ) )
206123, 205sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  -> 
( y  e.  ( om  ^o  C )  ->  ( A  +o  y )  C_  ( om  ^o  C ) ) )
207206ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  ->  A. y  e.  ( om  ^o  C ) ( A  +o  y ) 
C_  ( om  ^o  C ) )
208 iunss 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ y  e.  ( om  ^o  C ) ( A  +o  y )  C_  ( om  ^o  C )  <->  A. y  e.  ( om  ^o  C ) ( A  +o  y ) 
C_  ( om  ^o  C ) )
209207, 208sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  ->  U_ y  e.  ( om  ^o  C ) ( A  +o  y ) 
C_  ( om  ^o  C ) )
210117, 209eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  ( x  e.  C  /\  A  e.  ( om  ^o  x
) ) )  -> 
( A  +o  ( om  ^o  C ) ) 
C_  ( om  ^o  C ) )
211210expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  x  e.  C )  ->  ( A  e.  ( om  ^o  x )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  C_  ( om  ^o  C ) ) )
212104, 211sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  /\  x  e.  ( C  \  1o ) )  ->  ( A  e.  ( om  ^o  x )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  C_  ( om  ^o  C ) ) )
213212rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  ( E. x  e.  ( C  \  1o ) A  e.  ( om  ^o  x
)  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C
) )  C_  ( om  ^o  C ) ) )
214103, 213mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C
) )  C_  ( om  ^o  C ) )
21590adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  ( om  ^o  C )  C_  ( A  +o  ( om  ^o  C ) ) )
216214, 215eqssd 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  Lim  C )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C
) )  =  ( om  ^o  C ) )
217216ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( Lim  C  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  =  ( om 
^o  C ) ) )
21843, 94, 2173jaod 1246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( ( C  =  (/)  \/  E. x  e.  On  C  =  suc  x  \/  Lim  C )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C
) )  =  ( om  ^o  C ) ) )
21928, 218mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C
) )  =  ( om  ^o  C ) )
220219adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  ( om  ^o  C ) )  =  ( om  ^o  C
) )
221220oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  x  e.  On )  ->  (
( A  +o  ( om  ^o  C ) )  +o  x )  =  ( ( om  ^o  C )  +o  x
) )
22223, 221eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  x  e.  On )  ->  ( A  +o  ( ( om 
^o  C )  +o  x ) )  =  ( ( om  ^o  C )  +o  x
) )
223 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  C
)  +o  x )  =  B  ->  ( A  +o  ( ( om 
^o  C )  +o  x ) )  =  ( A  +o  B
) )
224 id 19 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ^o  C
)  +o  x )  =  B  ->  (
( om  ^o  C
)  +o  x )  =  B )
225223, 224eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( ( ( om  ^o  C
)  +o  x )  =  B  ->  (
( A  +o  (
( om  ^o  C
)  +o  x ) )  =  ( ( om  ^o  C )  +o  x )  <->  ( A  +o  B )  =  B ) )
226222, 225syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C
)  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B )  /\  x  e.  On )  ->  (
( ( om  ^o  C )  +o  x
)  =  B  -> 
( A  +o  B
)  =  B ) )
227226rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( E. x  e.  On  (
( om  ^o  C
)  +o  x )  =  B  ->  ( A  +o  B )  =  B ) )
22815, 227mpd 14 1  |-  ( ( ( A  e.  ( om  ^o  C )  /\  B  e.  On )  /\  ( om  ^o  C )  C_  B
)  ->  ( A  +o  B )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689    Fn wfn 5250  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   2oc2o 6473    +o coa 6476    .o comu 6477    ^o coe 6478
This theorem is referenced by:  cnfcomlem  7402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-oexp 6485
  Copyright terms: Public domain W3C validator