MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaabslem Structured version   Unicode version

Theorem oaabslem 6888
Description: Lemma for oaabs 6889. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaabslem  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  om )  =  om )

Proof of Theorem oaabslem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 4853 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 limom 4862 . . . . . 6  |-  Lim  om
32jctr 528 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  e.  On  /\  Lim  om ) )
4 oalim 6778 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  om ) )  -> 
( A  +o  om )  =  U_ x  e. 
om  ( A  +o  x ) )
51, 3, 4syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  -> 
( A  +o  om )  =  U_ x  e. 
om  ( A  +o  x ) )
6 ordom 4856 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
7 nnacl 6856 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )
8 ordelss 4599 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  ( A  +o  x )  e. 
om )  ->  ( A  +o  x )  C_  om )
96, 7, 8sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  x
)  C_  om )
109ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  om  ( A  +o  x )  C_  om )
11 iunss 4134 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  om  ( A  +o  x )  C_  om  <->  A. x  e.  om  ( A  +o  x )  C_  om )
1210, 11sylibr 205 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  U_ x  e.  om  ( A  +o  x )  C_  om )
1312adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  ->  U_ x  e.  om  ( A  +o  x
)  C_  om )
145, 13eqsstrd 3384 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  -> 
( A  +o  om )  C_  om )
1514ancoms 441 . 2  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  om )  C_  om )
16 oaword2 6798 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  om  C_  ( A  +o  om ) )
171, 16sylan2 462 . 2  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om )  ->  om  C_  ( A  +o  om ) )
1815, 17eqssd 3367 1  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  om )  =  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   U_ciun 4095   Ord word 4582   Oncon0 4583   Lim wlim 4584   omcom 4847  (class class class)co 6083    +o coa 6723
This theorem is referenced by:  oaabs  6889  oaabs2  6890  oancom  7608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730
  Copyright terms: Public domain W3C validator