Theorem oaabslem 4251

Description: Lemma for oaabs 4252.

Assertion

Ref	Expression
oaabslem	|- ((om e. On /\ A e. om) -> (A +o om) = om)

Proof of Theorem oaabslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oalim 4167	. . . . 5 |- ((A e. On /\ (om e. On /\ Lim om)) -> (A +o om) = U_x e. om (A +o x))
2		nnont 3138	. . . . 5 |- (A e. om -> A e. On)
3		limom 3146	. . . . . 6 |- Lim om
4	3	jctr 291	. . . . 5 |- (om e. On -> (om e. On /\ Lim om))
5	1, 2, 4	syl2an 454	. . . 4 |- ((A e. om /\ om e. On) -> (A +o om) = U_x e. om (A +o x))
6		nnacl 4229	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ x e. om) -> (A +o x) e. om)
7		ordom 3141	. . . . . . . . 9 |- Ord om
8		ordelss 2964	. . . . . . . . 9 |- ((Ord om /\ (A +o x) e. om) -> (A +o x) (_ om)
9	7, 8	mpan 695	. . . . . . . 8 |- ((A +o x) e. om -> (A +o x) (_ om)
10	6, 9	syl 10	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ x e. om) -> (A +o x) (_ om)
11	10	r19.21aiva 1714	. . . . . 6 |- (A e. om -> A.x e. om (A +o x) (_ om)
12		iunss 2591	. . . . . 6 |- (U_x e. om (A +o x) (_ om <-> A.x e. om (A +o x) (_ om)
13	11, 12	sylibr 200	. . . . 5 |- (A e. om -> U_x e. om (A +o x) (_ om)
14	13	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. om /\ om e. On) -> U_x e. om (A +o x) (_ om)
15	5, 14	eqsstrd 2095	. . 3 |- ((A e. om /\ om e. On) -> (A +o om) (_ om)
16	15	ancoms 436	. 2 |- ((om e. On /\ A e. om) -> (A +o om) (_ om)
17		oaword2 4187	. . 3 |- ((om e. On /\ A e. On) -> om (_ (A +o om))
18	17, 2	sylan2 451	. 2 |- ((om e. On /\ A e. om) -> om (_ (A +o om))
19	16, 18	eqssd 2079	1 |- ((om e. On /\ A e. om) -> (A +o om) = om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047  U_ciun 2566  Ord word 2947  Oncon0 2948  Lim wlim 2949  omcom 3131  (class class class)co 3963   +o coa 4130

This theorem is referenced by:  oaabs 4252  oancom 4633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135

Copyright terms: Public domain