MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaabslem Unicode version

Theorem oaabslem 6657
Description: Lemma for oaabs 6658. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaabslem  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  om )  =  om )

Proof of Theorem oaabslem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 4678 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 limom 4687 . . . . . 6  |-  Lim  om
32jctr 526 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  e.  On  /\  Lim  om ) )
4 oalim 6547 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  om ) )  -> 
( A  +o  om )  =  U_ x  e. 
om  ( A  +o  x ) )
51, 3, 4syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  -> 
( A  +o  om )  =  U_ x  e. 
om  ( A  +o  x ) )
6 ordom 4681 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
7 nnacl 6625 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )
8 ordelss 4424 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  ( A  +o  x )  e. 
om )  ->  ( A  +o  x )  C_  om )
96, 7, 8sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  x
)  C_  om )
109ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  om  ( A  +o  x )  C_  om )
11 iunss 3959 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  om  ( A  +o  x )  C_  om  <->  A. x  e.  om  ( A  +o  x )  C_  om )
1210, 11sylibr 203 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  U_ x  e.  om  ( A  +o  x )  C_  om )
1312adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  ->  U_ x  e.  om  ( A  +o  x
)  C_  om )
145, 13eqsstrd 3225 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  -> 
( A  +o  om )  C_  om )
1514ancoms 439 . 2  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  om )  C_  om )
16 oaword2 6567 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  om  C_  ( A  +o  om ) )
171, 16sylan2 460 . 2  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om )  ->  om  C_  ( A  +o  om ) )
1815, 17eqssd 3209 1  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  om )  =  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   U_ciun 3921   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   omcom 4672  (class class class)co 5874    +o coa 6492
This theorem is referenced by:  oaabs  6658  oaabs2  6659  oancom  7368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499
  Copyright terms: Public domain W3C validator