Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oacomf1o Structured version   Unicode version

Theorem oacomf1o 6800
 Description: Define a bijection from to . Thus, the two are equinumerous even if they are not equal (which sometimes occurs, e.g. oancom 7596). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oacomf1o.1
Assertion
Ref Expression
oacomf1o
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem oacomf1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . 7
21oacomf1olem 6799 . . . . . 6
32simpld 446 . . . . 5
4 eqid 2435 . . . . . . . . 9
54oacomf1olem 6799 . . . . . . . 8
65ancoms 440 . . . . . . 7
76simpld 446 . . . . . 6
8 f1ocnv 5679 . . . . . 6
97, 8syl 16 . . . . 5
10 incom 3525 . . . . . 6
116simprd 450 . . . . . 6
1210, 11syl5eq 2479 . . . . 5
132simprd 450 . . . . 5
14 f1oun 5686 . . . . 5
153, 9, 12, 13, 14syl22anc 1185 . . . 4
16 oacomf1o.1 . . . . 5
17 f1oeq1 5657 . . . . 5
1816, 17ax-mp 8 . . . 4
1915, 18sylibr 204 . . 3
20 oarec 6797 . . . 4
21 f1oeq2 5658 . . . 4
2220, 21syl 16 . . 3
2319, 22mpbird 224 . 2
24 oarec 6797 . . . . 5
2524ancoms 440 . . . 4
26 uncom 3483 . . . 4
2725, 26syl6eq 2483 . . 3
28 f1oeq3 5659 . . 3
2927, 28syl 16 . 2
3023, 29mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cun 3310   cin 3311  c0 3620   cmpt 4258  con0 4573  ccnv 4869   crn 4871  wf1o 5445  (class class class)co 6073   coa 6713 This theorem is referenced by:  cnfcomlem  7646 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720
 Copyright terms: Public domain W3C validator