MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oacomf1o Structured version   Unicode version

Theorem oacomf1o 6800
Description: Define a bijection from  A  +o  B to  B  +o  A. Thus, the two are equinumerous even if they are not equal (which sometimes occurs, e.g. oancom 7596). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oacomf1o.1  |-  F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
oacomf1o  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem oacomf1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )
21oacomf1olem 6799 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  i^i 
B )  =  (/) ) )
32simpld 446 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) ) )
4 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )
54oacomf1olem 6799 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i 
A )  =  (/) ) )
65ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i 
A )  =  (/) ) )
76simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )
8 f1ocnv 5679 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  ->  `' (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )
10 incom 3525 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) )  i^i  A
)
116simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i  A )  =  (/) )
1210, 11syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )  =  (/) )
132simprd 450 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  i^i  B )  =  (/) )
14 f1oun 5686 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  /\  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )  /\  ( ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  i^i  B
)  =  (/) ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
153, 9, 12, 13, 14syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
16 oacomf1o.1 . . . . 5  |-  F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
17 f1oeq1 5657 . . . . 5  |-  ( F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
1915, 18sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
20 oarec 6797 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
21 f1oeq2 5658 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  <->  F :
( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  <->  F :
( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2319, 22mpbird 224 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
24 oarec 6797 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) ) )
2524ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) ) )
26 uncom 3483 . . . 4  |-  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) )  =  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)
2725, 26syl6eq 2483 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
28 f1oeq3 5659 . . 3  |-  ( ( B  +o  A )  =  ( ran  (
x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  ->  ( F :
( A  +o  B
)
-1-1-onto-> ( B  +o  A
)  <->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2927, 28syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A )  <-> 
F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
3023, 29mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    i^i cin 3311   (/)c0 3620    e. cmpt 4258   Oncon0 4573   `'ccnv 4869   ran crn 4871   -1-1-onto->wf1o 5445  (class class class)co 6073    +o coa 6713
This theorem is referenced by:  cnfcomlem  7646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720
  Copyright terms: Public domain W3C validator