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Theorem oacomf1o 6563
Description: Define a bijection from  A  +o  B to  B  +o  A. Thus the two are equinumerous even if they are not equal (which sometimes occurs, e.g. oancom 7352). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oacomf1o.1  |-  F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
oacomf1o  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem oacomf1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )
21oacomf1olem 6562 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  i^i 
B )  =  (/) ) )
32simpld 445 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) ) )
4 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )
54oacomf1olem 6562 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i 
A )  =  (/) ) )
65ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i 
A )  =  (/) ) )
76simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )
8 f1ocnv 5485 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  ->  `' (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )
10 incom 3361 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) )  i^i  A
)
116simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i  A )  =  (/) )
1210, 11syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )  =  (/) )
132simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  i^i  B )  =  (/) )
14 f1oun 5492 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  /\  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )  /\  ( ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  i^i  B
)  =  (/) ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
153, 9, 12, 13, 14syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
16 oacomf1o.1 . . . . 5  |-  F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
17 f1oeq1 5463 . . . . 5  |-  ( F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
1915, 18sylibr 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
20 oarec 6560 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
21 f1oeq2 5464 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  <->  F :
( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2220, 21syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  <->  F :
( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2319, 22mpbird 223 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
24 oarec 6560 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) ) )
2524ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) ) )
26 uncom 3319 . . . 4  |-  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) )  =  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)
2725, 26syl6eq 2331 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
28 f1oeq3 5465 . . 3  |-  ( ( B  +o  A )  =  ( ran  (
x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  ->  ( F :
( A  +o  B
)
-1-1-onto-> ( B  +o  A
)  <->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2927, 28syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A )  <-> 
F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
3023, 29mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   `'ccnv 4688   ran crn 4690   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858    +o coa 6476
This theorem is referenced by:  cnfcomlem  7402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483
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