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Theorem oacomf1o 6579
Description: Define a bijection from  A  +o  B to  B  +o  A. Thus, the two are equinumerous even if they are not equal (which sometimes occurs, e.g. oancom 7368). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oacomf1o.1  |-  F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
oacomf1o  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem oacomf1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )
21oacomf1olem 6578 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  i^i 
B )  =  (/) ) )
32simpld 445 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) ) )
4 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )
54oacomf1olem 6578 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i 
A )  =  (/) ) )
65ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i 
A )  =  (/) ) )
76simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )
8 f1ocnv 5501 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  ->  `' (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )
10 incom 3374 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) )  i^i  A
)
116simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i  A )  =  (/) )
1210, 11syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )  =  (/) )
132simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  i^i  B )  =  (/) )
14 f1oun 5508 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  /\  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )  /\  ( ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  i^i  B
)  =  (/) ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
153, 9, 12, 13, 14syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
16 oacomf1o.1 . . . . 5  |-  F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
17 f1oeq1 5479 . . . . 5  |-  ( F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
1915, 18sylibr 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
20 oarec 6576 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
21 f1oeq2 5480 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  <->  F :
( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2220, 21syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  <->  F :
( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2319, 22mpbird 223 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
24 oarec 6576 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) ) )
2524ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) ) )
26 uncom 3332 . . . 4  |-  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) )  =  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)
2725, 26syl6eq 2344 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
28 f1oeq3 5481 . . 3  |-  ( ( B  +o  A )  =  ( ran  (
x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  ->  ( F :
( A  +o  B
)
-1-1-onto-> ( B  +o  A
)  <->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2927, 28syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A )  <-> 
F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
3023, 29mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    i^i cin 3164   (/)c0 3468    e. cmpt 4093   Oncon0 4408   `'ccnv 4704   ran crn 4706   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874    +o coa 6492
This theorem is referenced by:  cnfcomlem  7418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499
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