MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oacomf1o Unicode version

Theorem oacomf1o 6746
Description: Define a bijection from  A  +o  B to  B  +o  A. Thus, the two are equinumerous even if they are not equal (which sometimes occurs, e.g. oancom 7541). (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oacomf1o.1  |-  F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
oacomf1o  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem oacomf1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )
21oacomf1olem 6745 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  i^i 
B )  =  (/) ) )
32simpld 446 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) ) )
4 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )
54oacomf1olem 6745 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i 
A )  =  (/) ) )
65ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  /\  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i 
A )  =  (/) ) )
76simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) : B -1-1-onto-> ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )
8 f1ocnv 5629 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : B -1-1-onto-> ran  (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  ->  `' (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  (
x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )
10 incom 3478 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) )  i^i  A
)
116simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) )  i^i  A )  =  (/) )
1210, 11syl5eq 2433 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )  =  (/) )
132simprd 450 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  i^i  B )  =  (/) )
14 f1oun 5636 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) : A -1-1-onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  /\  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) : ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) -1-1-onto-> B )  /\  ( ( A  i^i  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  =  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  i^i  B
)  =  (/) ) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
153, 9, 12, 13, 14syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
16 oacomf1o.1 . . . . 5  |-  F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )
17 f1oeq1 5607 . . . . 5  |-  ( F  =  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) )  ->  ( F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  `' ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
1915, 18sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B ) )
20 oarec 6743 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x ) ) ) )
21 f1oeq2 5608 . . . 4  |-  ( ( A  +o  B )  =  ( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) )  -> 
( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  <->  F :
( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  <->  F :
( A  u.  ran  ( x  e.  B  |->  ( A  +o  x
) ) ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2319, 22mpbird 224 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
24 oarec 6743 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) ) )
2524ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) ) )
26 uncom 3436 . . . 4  |-  ( B  u.  ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) ) )  =  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
)
2725, 26syl6eq 2437 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  A
)  =  ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) )
28 f1oeq3 5609 . . 3  |-  ( ( B  +o  A )  =  ( ran  (
x  e.  A  |->  ( B  +o  x ) )  u.  B )  ->  ( F :
( A  +o  B
)
-1-1-onto-> ( B  +o  A
)  <->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
2927, 28syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A )  <-> 
F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( ran  ( x  e.  A  |->  ( B  +o  x
) )  u.  B
) ) )
3023, 29mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( A  +o  B ) -1-1-onto-> ( B  +o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3263    i^i cin 3264   (/)c0 3573    e. cmpt 4209   Oncon0 4524   `'ccnv 4819   ran crn 4821   -1-1-onto->wf1o 5395  (class class class)co 6022    +o coa 6659
This theorem is referenced by:  cnfcomlem  7591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-oadd 6666
  Copyright terms: Public domain W3C validator