Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaf1o Unicode version

Theorem oaf1o 6561
 Description: Left addition by a constant is a bijection from ordinals to ordinals greater than the constant. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oaf1o
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem oaf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oacl 6534 . . . 4
2 oaword1 6550 . . . . 5
3 ontri1 4426 . . . . . 6
41, 3syldan 456 . . . . 5
52, 4mpbid 201 . . . 4
6 eldif 3162 . . . 4
71, 5, 6sylanbrc 645 . . 3
87ralrimiva 2626 . 2
9 simpl 443 . . . . 5
10 eldifi 3298 . . . . . 6
1110adantl 452 . . . . 5
12 eldifn 3299 . . . . . . 7
1312adantl 452 . . . . . 6
14 ontri1 4426 . . . . . . 7
1511, 14syldan 456 . . . . . 6
1613, 15mpbird 223 . . . . 5
17 oawordeu 6553 . . . . 5
189, 11, 16, 17syl21anc 1181 . . . 4
19 eqcom 2285 . . . . 5
2019reubii 2726 . . . 4
2118, 20sylib 188 . . 3
2221ralrimiva 2626 . 2
23 eqid 2283 . . 3
2423f1ompt 5682 . 2
258, 22, 24sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wreu 2545   cdif 3149   wss 3152   cmpt 4077  con0 4392  wf1o 5254  (class class class)co 5858   coa 6476 This theorem is referenced by:  oacomf1olem  6562 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483
 Copyright terms: Public domain W3C validator