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Theorem oaordi 6560
Description: Ordering property of ordinal addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaordi  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem oaordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 4433 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
21adantll 694 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  On )
3 eloni 4418 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
4 ordsucss 4625 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
53, 4syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
65ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
7 sucelon 4624 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
8 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
98sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) )
109imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x
) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) ) )
11 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  y
) )
1211sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) )
1312imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) ) )
14 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  y ) )
1514sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) )
1615imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x
) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) ) )
17 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  B
) )
1817sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
1918imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) ) )
20 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  A )
2120a1ii 24 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  suc  A ) ) )
22 sssucid 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  +o  y )  C_  suc  ( C  +o  y
)
23 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  (
( C  +o  y
)  C_  suc  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2422, 23mpi 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  suc  ( C  +o  y ) )
25 oasuc 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2625ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2726sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y )  <-> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2824, 27syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  y )  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3130a2d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) )  -> 
( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
32 sucssel 4501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  x  ->  A  e.  x ) )
337, 32sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  x  ->  A  e.  x ) )
34 limsuc 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
3534biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  ->  suc  A  e.  x ) )
3633, 35sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  -> 
( suc  A  C_  x  ->  suc  A  e.  x
) )
3736imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  suc  A  e.  x )
38 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( C  +o  y
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
3938ssiun2s 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc 
A  e.  x  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  U_ y  e.  x  ( C  +o  y ) )
4037, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
42 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  e. 
_V
43 oalim 6547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( C  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  +o  y ) )
4442, 43mpanr1 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( C  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4544ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  x  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4645adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( C  +o  y ) )
4746adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( C  +o  y
) )
4841, 47sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  /\  C  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  x ) )
4948ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  x ) ) )
5049a1d 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  A  C_  y  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) ) )  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x
) ) ) )
5110, 13, 16, 19, 21, 31, 50tfindsg 4667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  B ) ) )
5251exp31 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  ( suc  A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
537, 52syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  On  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
5453com4r 80 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
5554imp31 421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
56 oasuc 6539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( C  +o  suc  A )  =  suc  ( C  +o  A ) )
5756sseq1d 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  suc  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
58 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +o  A )  e. 
_V
59 sucssel 4501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +o  A )  e.  _V  ->  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
6157, 60syl6bi 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  -> 
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
6261adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
636, 55, 623syld 51 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
6463imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
6564an32s 779 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  B )  /\  A  e.  On )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
662, 65mpdan 649 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  B
)  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
6766ex 423 . 2  |-  ( ( C  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
6867ancoms 439 1  |-  ( ( B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U_ciun 3921   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   suc csuc 4410  (class class class)co 5874    +o coa 6492
This theorem is referenced by:  oaord  6561  oaass  6575  odi  6593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499
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