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Theorem oawordri 6760
Description: Weak ordering property of ordinal addition. Proposition 8.7 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 7-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oawordri  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem oawordri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3345 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
4 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
5 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
64, 5sseq12d 3345 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )
7 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
8 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3345 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
10 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
11 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1210, 11sseq12d 3345 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) )
13 oa0 6727 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1413adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
15 oa0 6727 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1615adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1714, 16sseq12d 3345 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) )  <->  A  C_  B
) )
1817biimpar 472 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) )
19 oacl 6746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  y
)  e.  On )
20 eloni 4559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  y
) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  +o  y ) )
22 oacl 6746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
23 eloni 4559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( B  +o  y
) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( B  +o  y ) )
25 ordsucsssuc 4770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  ( A  +o  y )  /\  Ord  ( B  +o  y
) )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
2621, 24, 25syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  -> 
( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
2726anandirs 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
28 oasuc 6735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
2928adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
30 oasuc 6735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3130adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3229, 31sseq12d 3345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
3327, 32bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) )
3433biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
3534expcom 425 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) ) )
3635adantrd 455 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
37 vex 2927 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
38 ss2iun 4076 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
39 oalim 6743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  y ) )
4039adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  y ) )
41 oalim 6743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
4241adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
4340, 42sseq12d 3345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
)  <->  U_ y  e.  x  ( A  +o  y
)  C_  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) ) )
4438, 43syl5ibr 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )
4537, 44mpanr1 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y )  -> 
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) ) )
4645expcom 425 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
) ) ) )
4746adantrd 455 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) ) )
483, 6, 9, 12, 18, 36, 47tfinds3 4811 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
4948exp4c 592 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C ) 
C_  ( B  +o  C ) ) ) ) )
5049com3l 77 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C ) 
C_  ( B  +o  C ) ) ) ) )
51503imp 1147 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   (/)c0 3596   U_ciun 4061   Ord word 4548   Oncon0 4549   Lim wlim 4550   suc csuc 4551  (class class class)co 6048    +o coa 6688
This theorem is referenced by:  oaword2  6763  omwordri  6782  oaabs2  6855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-oadd 6695
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