MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obs2ss Unicode version

Theorem obs2ss 16645
Description: A basis has no proper subsets that are also bases. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
obs2ss  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  ->  C  =  B )

Proof of Theorem obs2ss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  ->  C  C_  B
)
2 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
32obsne0 16641 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  x  e.  B )  ->  x  =/=  ( 0g `  W
) )
433ad2antl1 1117 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  x  =/=  ( 0g `  W ) )
5 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
65obselocv 16644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  ( ( ocv `  W ) `
 C )  <->  -.  x  e.  C ) )
763expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  ( ( ocv `  W ) `
 C )  <->  -.  x  e.  C ) )
873adantl2 1112 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( ( ocv `  W
) `  C )  <->  -.  x  e.  C ) )
9 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  C  e.  (OBasis `  W ) )
102, 5obsocv 16642 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  (OBasis `  W
)  ->  ( ( ocv `  W ) `  C )  =  {
( 0g `  W
) } )
119, 10syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( ocv `  W ) `  C )  =  {
( 0g `  W
) } )
1211eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( ( ocv `  W
) `  C )  <->  x  e.  { ( 0g
`  W ) } ) )
13 elsni 3677 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { ( 0g
`  W ) }  ->  x  =  ( 0g `  W ) )
1412, 13syl6bi 219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  ( ( ocv `  W
) `  C )  ->  x  =  ( 0g
`  W ) ) )
158, 14sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  x  e.  C  ->  x  =  ( 0g `  W ) ) )
1615necon1ad 2526 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  =/=  ( 0g `  W
)  ->  x  e.  C ) )
174, 16mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  C )
1817ex 423 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) )
1918ssrdv 3198 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  ->  B  C_  C
)
201, 19eqssd 3209 1  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  C  e.  (OBasis `  W )  /\  C  C_  B )  ->  C  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271   0gc0g 13416   ocvcocv 16576  OBasiscobs 16618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-staf 15626  df-srng 15627  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lmhm 15795  df-lvec 15872  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-phl 16546  df-ocv 16579  df-obs 16621
  Copyright terms: Public domain W3C validator