Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obslbs Structured version   Unicode version

Theorem obslbs 16959
 Description: An orthogonal basis is a linear basis iff the span of the basis elements is closed (which is usually not true). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
obslbs.j LBasis
obslbs.n
obslbs.c
Assertion
Ref Expression
obslbs OBasis

Proof of Theorem obslbs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 obsrcl 16952 . . . . . 6 OBasis
2 eqid 2438 . . . . . . 7
32obsss 16953 . . . . . 6 OBasis
4 eqid 2438 . . . . . . 7
5 obslbs.n . . . . . . 7
62, 4, 5ocvlsp 16905 . . . . . 6
71, 3, 6syl2anc 644 . . . . 5 OBasis
87fveq2d 5734 . . . 4 OBasis
94, 2obs2ocv 16956 . . . 4 OBasis
108, 9eqtrd 2470 . . 3 OBasis
1110eqeq2d 2449 . 2 OBasis
12 obslbs.c . . . 4
134, 12iscss 16912 . . 3
141, 13syl 16 . 2 OBasis
15 phllvec 16862 . . . 4
161, 15syl 16 . . 3 OBasis
17 pssnel 3695 . . . . . . 7
1817adantl 454 . . . . . 6 OBasis
19 simpll 732 . . . . . . . . . . 11 OBasis OBasis
20 pssss 3444 . . . . . . . . . . . 12
2120ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11 OBasis
22 simpr 449 . . . . . . . . . . 11 OBasis
234obselocv 16957 . . . . . . . . . . 11 OBasis
2419, 21, 22, 23syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10 OBasis
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14
2625obsne0 16954 . . . . . . . . . . . . 13 OBasis
2719, 22, 26syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 OBasis
28 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . 13
2928necon3ai 2646 . . . . . . . . . . . 12
3027, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11 OBasis
31 nelne1 2695 . . . . . . . . . . . 12
3231expcom 426 . . . . . . . . . . 11
3330, 32syl 16 . . . . . . . . . 10 OBasis
3424, 33sylbird 228 . . . . . . . . 9 OBasis
35 npss 3459 . . . . . . . . . . 11
36 phllmod 16863 . . . . . . . . . . . . . . 15
371, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 OBasis
3837ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 OBasis
393ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 OBasis
4021, 39sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . 13 OBasis
412, 5lspssv 16061 . . . . . . . . . . . . 13
4238, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 OBasis
43 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13
441ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 OBasis
452, 4, 5ocvlsp 16905 . . . . . . . . . . . . . . 15
4644, 40, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14 OBasis
472, 4, 25ocv1 16908 . . . . . . . . . . . . . . 15
4844, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 OBasis
4946, 48eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . 13 OBasis
5043, 49syl5ib 212 . . . . . . . . . . . 12 OBasis
5142, 50embantd 53 . . . . . . . . . . 11 OBasis
5235, 51syl5bi 210 . . . . . . . . . 10 OBasis
5352necon1ad 2673 . . . . . . . . 9 OBasis
5434, 53syld 43 . . . . . . . 8 OBasis
5554expimpd 588 . . . . . . 7 OBasis
5655exlimdv 1647 . . . . . 6 OBasis
5718, 56mpd 15 . . . . 5 OBasis
5857ex 425 . . . 4 OBasis
5958alrimiv 1642 . . 3 OBasis
60 obslbs.j . . . . . 6 LBasis
612, 60, 5islbs3 16229 . . . . 5
62 3anan32 949 . . . . 5
6361, 62syl6bb 254 . . . 4
6463baibd 877 . . 3
6516, 3, 59, 64syl12anc 1183 . 2 OBasis
6611, 14, 653bitr4rd 279 1 OBasis
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wal 1550  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   wss 3322   wpss 3323  csn 3816  cfv 5456  cbs 13471  c0g 13725  clmod 15952  clspn 16049  LBasisclbs 16148  clvec 16176  cphl 16857  cocv 16889  ccss 16890  OBasiscobs 16931 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-ghm 15006  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-rnghom 15821  df-drng 15839  df-staf 15935  df-srng 15936  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lmhm 16100  df-lbs 16149  df-lvec 16177  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-phl 16859  df-ocv 16892  df-css 16893  df-obs 16934
 Copyright terms: Public domain W3C validator