MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obsne0 Structured version   Unicode version

Theorem obsne0 16954
Description: A basis element is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
obsocv.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
obsne0  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  =/=  .0.  )

Proof of Theorem obsne0
StepHypRef Expression
1 obsrcl 16952 . . . . 5  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  W  e.  PreHil )
2 phllvec 16862 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
3 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
43lvecdrng 16179 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
51, 2, 43syl 19 . . . 4  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  (Scalar `  W
)  e.  DivRing )
65adantr 453 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
7 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
8 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
97, 8drngunz 15852 . . 3  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
106, 9syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
11 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
1211, 3, 8obsipid 16951 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  ( A ( .i `  W ) A )  =  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )
1312eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
141adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  W  e.  PreHil )
15 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1615obsss 16953 . . . . . 6  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  B  C_  ( Base `  W ) )
1716sselda 3350 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  ( Base `  W
) )
18 obsocv.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
193, 11, 15, 7, 18ipeq0 16871 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
2014, 17, 19syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
2113, 20bitr3d 248 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A  =  .0.  ) )
2221necon3bid 2638 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A  =/=  .0.  ) )
2310, 22mpbid 203 1  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471  Scalarcsca 13534   .icip 13536   0gc0g 13725   1rcur 15664   DivRingcdr 15837   LVecclvec 16176   PreHilcphl 16857  OBasiscobs 16931
This theorem is referenced by:  obselocv  16957  obs2ss  16958  obslbs  16959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-ghm 15006  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lmhm 16100  df-lvec 16177  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-phl 16859  df-obs 16934
  Copyright terms: Public domain W3C validator