MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obsne0 Unicode version

Theorem obsne0 16625
Description: A basis element is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
obsocv.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
obsne0  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  =/=  .0.  )

Proof of Theorem obsne0
StepHypRef Expression
1 obsrcl 16623 . . . . 5  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  W  e.  PreHil )
2 phllvec 16533 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
3 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
43lvecdrng 15858 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
51, 2, 43syl 18 . . . 4  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  (Scalar `  W
)  e.  DivRing )
65adantr 451 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
97, 8drngunz 15527 . . 3  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
106, 9syl 15 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
11 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
1211, 3, 8obsipid 16622 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  ( A ( .i `  W ) A )  =  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )
1312eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
141adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  W  e.  PreHil )
15 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
1615obsss 16624 . . . . . 6  |-  ( B  e.  (OBasis `  W
)  ->  B  C_  ( Base `  W ) )
1716sselda 3180 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  ( Base `  W
) )
18 obsocv.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
193, 11, 15, 7, 18ipeq0 16542 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
2014, 17, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( A ( .i
`  W ) A )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  A  =  .0.  ) )
2113, 20bitr3d 246 . . 3  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A  =  .0.  ) )
2221necon3bid 2481 . 2  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  A  =/=  .0.  ) )
2310, 22mpbid 201 1  |-  ( ( B  e.  (OBasis `  W )  /\  A  e.  B )  ->  A  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .icip 13213   0gc0g 13400   1rcur 15339   DivRingcdr 15512   LVecclvec 15855   PreHilcphl 16528  OBasiscobs 16602
This theorem is referenced by:  obselocv  16628  obs2ss  16629  obslbs  16630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-phl 16530  df-obs 16605
  Copyright terms: Public domain W3C validator