HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocnel Unicode version

Theorem ocnel 21893
Description: A nonzero vector in the complement of a subspace does not belong to the subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocnel  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H )  /\  A  =/=  0h )  ->  -.  A  e.  H )

Proof of Theorem ocnel
StepHypRef Expression
1 elin 3371 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H ) )  <->  ( A  e.  H  /\  A  e.  ( _|_ `  H
) ) )
2 ocin 21891 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
32eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  <->  A  e.  0H ) )
43biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  ->  A  e.  0H ) )
51, 4syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  (
( A  e.  H  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  ->  A  e.  0H ) )
65exp3acom23 1362 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  ( _|_ `  H )  ->  ( A  e.  H  ->  A  e.  0H ) ) )
76imp 418 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  -> 
( A  e.  H  ->  A  e.  0H ) )
8 elch0 21849 . . . 4  |-  ( A  e.  0H  <->  A  =  0h )
97, 8syl6ib 217 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  -> 
( A  e.  H  ->  A  =  0h )
)
109necon3ad 2495 . 2  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  -> 
( A  =/=  0h  ->  -.  A  e.  H
) )
11103impia 1148 1  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H )  /\  A  =/=  0h )  ->  -.  A  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    i^i cin 3164   ` cfv 5271   0hc0v 21520   SHcsh 21524   _|_cort 21526   0Hc0h 21531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hv0cl 21599  ax-hfvmul 21601  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sh 21802  df-oc 21847  df-ch0 21848
  Copyright terms: Public domain W3C validator