HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocnel Unicode version

Theorem ocnel 21877
Description: A nonzero vector in the complement of a subspace does not belong to the subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocnel  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H )  /\  A  =/=  0h )  ->  -.  A  e.  H )

Proof of Theorem ocnel
StepHypRef Expression
1 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H ) )  <->  ( A  e.  H  /\  A  e.  ( _|_ `  H
) ) )
2 ocin 21875 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
32eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  <->  A  e.  0H ) )
43biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  ->  A  e.  0H ) )
51, 4syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  (
( A  e.  H  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  ->  A  e.  0H ) )
65exp3acom23 1362 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  ( _|_ `  H )  ->  ( A  e.  H  ->  A  e.  0H ) ) )
76imp 418 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  -> 
( A  e.  H  ->  A  e.  0H ) )
8 elch0 21833 . . . 4  |-  ( A  e.  0H  <->  A  =  0h )
97, 8syl6ib 217 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  -> 
( A  e.  H  ->  A  =  0h )
)
109necon3ad 2482 . 2  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H ) )  -> 
( A  =/=  0h  ->  -.  A  e.  H
) )
11103impia 1148 1  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  ( _|_ `  H )  /\  A  =/=  0h )  ->  -.  A  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    i^i cin 3151   ` cfv 5255   0hc0v 21504   SHcsh 21508   _|_cort 21510   0Hc0h 21515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hv0cl 21583  ax-hfvmul 21585  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sh 21786  df-oc 21831  df-ch0 21832
  Copyright terms: Public domain W3C validator