MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocv0 Unicode version

Theorem ocv0 16593
Description: The orthocomplement of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvz.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ocvz.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocv0  |-  (  ._|_  `  (/) )  =  V

Proof of Theorem ocv0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 3496 . . 3  |-  (/)  C_  V
2 ocvz.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
4 eqid 2296 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
6 ocvz.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
72, 3, 4, 5, 6ocvval 16583 . . 3  |-  ( (/)  C_  V  ->  (  ._|_  `  (/) )  =  {
x  e.  V  |  A. y  e.  (/)  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
81, 7ax-mp 8 . 2  |-  (  ._|_  `  (/) )  =  {
x  e.  V  |  A. y  e.  (/)  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }
9 ral0 3571 . . . 4  |-  A. y  e.  (/)  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )
109rgenw 2623 . . 3  |-  A. x  e.  V  A. y  e.  (/)  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )
11 rabid2 2730 . . 3  |-  ( V  =  { x  e.  V  |  A. y  e.  (/)  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  (/)  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1210, 11mpbir 200 . 2  |-  V  =  { x  e.  V  |  A. y  e.  (/)  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) }
138, 12eqtr4i 2319 1  |-  (  ._|_  `  (/) )  =  V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .icip 13229   0gc0g 13416   ocvcocv 16576
This theorem is referenced by:  ocvz  16594  css1  16606
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-ocv 16579
  Copyright terms: Public domain W3C validator