MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvin Structured version   Unicode version

Theorem ocvin 16893
Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocv2ss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
ocvin.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
ocvin.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvin  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem ocvin
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
5 ocv2ss.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
61, 2, 3, 4, 5ocvi 16888 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  (  ._|_  `  S )  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
76ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) )  -> 
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
87adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  (
x ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
9 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  W  e.  PreHil )
10 ocvin.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
111, 10lssel 16006 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  L  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  W ) )
1211ad2ant2lr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  W
) )
13 ocvin.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
143, 2, 1, 4, 13ipeq0 16861 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  x  =  .0.  ) )
159, 12, 14syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  (
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  x  =  .0.  ) )
168, 15mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  x  =  .0.  )
1716ex 424 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (
( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) )  ->  x  =  .0.  ) )
18 elin 3522 . . . 4  |-  ( x  e.  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
)  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )
19 elsn 3821 . . . 4  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
2017, 18, 193imtr4g 262 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (
x  e.  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
2120ssrdv 3346 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  C_  {  .0.  } )
22 phllmod 16853 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
2322adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  W  e.  LMod )
241, 10lssss 16005 . . . . 5  |-  ( S  e.  L  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
251, 5, 10ocvlss 16891 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  ( Base `  W
) )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  L )
2624, 25sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  L )
2710lssincl 16033 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  L  /\  (  ._|_  `  S )  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
2822, 27syl3an1 1217 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L  /\  (  ._|_  `  S )  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
2926, 28mpd3an3 1280 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
3013, 10lss0ss 16017 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)  ->  {  .0.  } 
C_  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
) )
3123, 29, 30syl2anc 643 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  {  .0.  } 
C_  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
) )
3221, 31eqssd 3357 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .icip 13526   0gc0g 13715   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   PreHilcphl 16847   ocvcocv 16879
This theorem is referenced by:  ocv1  16898  pjdm2  16930  pjff  16931  pjf2  16933  pjfo  16934  obselocv  16947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-ghm 14996  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-phl 16849  df-ocv 16882
  Copyright terms: Public domain W3C validator