MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvin Unicode version

Theorem ocvin 16824
Description: An orthocomplement has trivial intersection with the original subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocv2ss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
ocvin.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
ocvin.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvin  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem ocvin
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
5 ocv2ss.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
61, 2, 3, 4, 5ocvi 16819 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  (  ._|_  `  S )  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
76ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) )  -> 
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
87adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  (
x ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
9 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  W  e.  PreHil )
10 ocvin.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
111, 10lssel 15941 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  L  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  W ) )
1211ad2ant2lr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  W
) )
13 ocvin.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
143, 2, 1, 4, 13ipeq0 16792 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  x  =  .0.  ) )
159, 12, 14syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  (
( x ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  x  =  .0.  ) )
168, 15mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  /\  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  x  =  .0.  )
1716ex 424 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (
( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) )  ->  x  =  .0.  ) )
18 elin 3473 . . . 4  |-  ( x  e.  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
)  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  (  ._|_  `  S ) ) )
19 elsn 3772 . . . 4  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
2017, 18, 193imtr4g 262 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (
x  e.  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
2120ssrdv 3297 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  C_  {  .0.  } )
22 phllmod 16784 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
2322adantr 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  W  e.  LMod )
241, 10lssss 15940 . . . . 5  |-  ( S  e.  L  ->  S  C_  ( Base `  W
) )
251, 5, 10ocvlss 16822 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  ( Base `  W
) )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  L )
2624, 25sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  (  ._|_  `  S )  e.  L )
2710lssincl 15968 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  L  /\  (  ._|_  `  S )  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
2822, 27syl3an1 1217 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L  /\  (  ._|_  `  S )  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
2926, 28mpd3an3 1280 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)
3013, 10lss0ss 15952 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  e.  L
)  ->  {  .0.  } 
C_  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
) )
3123, 29, 30syl2anc 643 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  {  .0.  } 
C_  ( S  i^i  (  ._|_  `  S )
) )
3221, 31eqssd 3308 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  e.  L )  ->  ( S  i^i  (  ._|_  `  S
) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3262    C_ wss 3263   {csn 3757   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396  Scalarcsca 13459   .icip 13461   0gc0g 13650   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935   PreHilcphl 16778   ocvcocv 16810
This theorem is referenced by:  ocv1  16829  pjdm2  16861  pjff  16862  pjf2  16864  pjfo  16865  obselocv  16878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-plusg 13469  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-ghm 14931  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lmhm 16025  df-lvec 16102  df-sra 16171  df-rgmod 16172  df-phl 16780  df-ocv 16813
  Copyright terms: Public domain W3C validator