MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvlsp Unicode version

Theorem ocvlsp 16828
Description: The orthocomplement of a linear span. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvlsp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ocvlsp.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
ocvlsp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvlsp  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( N `  S ) )  =  (  ._|_  `  S ) )

Proof of Theorem ocvlsp
StepHypRef Expression
1 phllmod 16786 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
2 ocvlsp.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 ocvlsp.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
42, 3lspssid 15990 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( N `  S
) )
51, 4sylan 458 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( N `  S
) )
6 ocvlsp.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
76ocv2ss 16825 . . 3  |-  ( S 
C_  ( N `  S )  ->  (  ._|_  `  ( N `  S ) )  C_  (  ._|_  `  S )
)
85, 7syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( N `  S ) )  C_  (  ._|_  `  S )
)
92, 6ocvss 16822 . . . . 5  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  V )
112, 6ocvocv 16823 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (  ._|_  `  S )  C_  V )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
1210, 11syldan 457 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
131adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  W  e.  LMod )
14 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
152, 6, 14ocvlss 16824 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (  ._|_  `  S )  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
1610, 15syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
172, 6ocvocv 16823 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
1814, 3lspssp 15993 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  ->  ( N `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )
1913, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( N `  S )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
206ocv2ss 16825 . . . 4  |-  ( ( N `  S ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  C_  (  ._|_  `  ( N `  S ) ) )
2119, 20syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )  C_  (  ._|_  `  ( N `  S
) ) )
2212, 21sstrd 3303 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  (  ._|_  `  ( N `  S ) ) )
238, 22eqssd 3310 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (  ._|_  `  ( N `  S ) )  =  (  ._|_  `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265   ` cfv 5396   Basecbs 13398   LModclmod 15879   LSubSpclss 15937   LSpanclspn 15976   PreHilcphl 16780   ocvcocv 16812
This theorem is referenced by:  ocvz  16830  obselocv  16880  obslbs  16882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-tpos 6417  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-mhm 14667  df-grp 14741  df-ghm 14933  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-rnghom 15748  df-staf 15862  df-srng 15863  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-lsp 15977  df-lmhm 16027  df-lvec 16104  df-sra 16173  df-rgmod 16174  df-phl 16782  df-ocv 16815
  Copyright terms: Public domain W3C validator