MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvocv Unicode version

Theorem ocvocv 16571
Description: A set is contained in its double orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ocvss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvocv  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )

Proof of Theorem ocvocv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 ocvss.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
31, 2ocvss 16570 . . . . 5  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
43a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  S
)  ->  (  ._|_  `  S )  C_  V
)
5 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  V )
65sselda 3180 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  V )
7 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
8 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
9 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
101, 7, 8, 9, 2ocvi 16569 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  (  ._|_  `  S )  /\  x  e.  S )  ->  (
y ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1110ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  (  ._|_  `  S ) )  -> 
( y ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
1211adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
y ( .i `  W ) x )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
13 simplll 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  W  e.  PreHil )
144sselda 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  y  e.  V )
156adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  V )
168, 7, 1, 9iporthcom 16539 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  y  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  (
( y ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
( y ( .i
`  W ) x )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
1812, 17mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
PreHil  /\  S  C_  V
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
1918ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  S
)  ->  A. y  e.  (  ._|_  `  S
) ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
201, 7, 8, 9, 2elocv 16568 . . . 4  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <-> 
( (  ._|_  `  S
)  C_  V  /\  x  e.  V  /\  A. y  e.  (  ._|_  `  S ) ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
214, 6, 19, 20syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
2221ex 423 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
x  e.  S  ->  x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) ) )
2322ssrdv 3185 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .icip 13213   0gc0g 13400   PreHilcphl 16528   ocvcocv 16560
This theorem is referenced by:  ocvsscon  16575  ocvlsp  16576  iscss2  16586  ocvcss  16587  mrccss  16594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-rnghom 15496  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-phl 16530  df-ocv 16563
  Copyright terms: Public domain W3C validator