MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvss Structured version   Unicode version

Theorem ocvss 16897
Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ocvss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvss  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V

Proof of Theorem ocvss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2436 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 eqid 2436 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
5 ocvss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
61, 2, 3, 4, 5elocv 16895 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  <->  ( S  C_  V  /\  x  e.  V  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
76simp2bi 973 . 2  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  ->  x  e.  V )
87ssriv 3352 1  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .icip 13534   0gc0g 13723   ocvcocv 16887
This theorem is referenced by:  ocvocv  16898  ocvlss  16899  ocvlsp  16903  ocv1  16906  cssval  16909  cssss  16912  ocvcss  16914  cssincl  16915  csslss  16918  lsmcss  16919  mrccss  16921  pjcss  16943  csscld  19203  clsocv  19204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-ocv 16890
  Copyright terms: Public domain W3C validator