MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvss Unicode version

Theorem ocvss 16570
Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ocvss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvss  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V

Proof of Theorem ocvss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
3 eqid 2283 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
5 ocvss.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
61, 2, 3, 4, 5elocv 16568 . . 3  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  <->  ( S  C_  V  /\  x  e.  V  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
76simp2bi 971 . 2  |-  ( x  e.  (  ._|_  `  S
)  ->  x  e.  V )
87ssriv 3184 1  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .icip 13213   0gc0g 13400   ocvcocv 16560
This theorem is referenced by:  ocvocv  16571  ocvlss  16572  ocvlsp  16576  ocv1  16579  cssval  16582  cssss  16585  ocvcss  16587  cssincl  16588  csslss  16591  lsmcss  16592  mrccss  16594  pjcss  16616  csscld  18676  clsocv  18677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-ocv 16563
  Copyright terms: Public domain W3C validator