MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvsscon Structured version   Unicode version

Theorem ocvsscon 16894
Description: Two ways to say that  S and  T are orthogonal subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvlsp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ocvlsp.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
ocvsscon  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V  /\  T  C_  V )  ->  ( S  C_  (  ._|_  `  T
)  <->  T  C_  (  ._|_  `  S ) ) )

Proof of Theorem ocvsscon
StepHypRef Expression
1 ocvlsp.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 ocvlsp.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
31, 2ocvocv 16890 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )
433adant2 976 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V  /\  T  C_  V )  ->  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )
52ocv2ss 16892 . . 3  |-  ( S 
C_  (  ._|_  `  T
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) )  C_  (  ._|_  `  S ) )
6 sstr2 3347 . . 3  |-  ( T 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) )  C_  (  ._|_  `  S )  ->  T  C_  (  ._|_  `  S ) ) )
74, 5, 6syl2im 36 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V  /\  T  C_  V )  ->  ( S  C_  (  ._|_  `  T
)  ->  T  C_  (  ._|_  `  S ) ) )
81, 2ocvocv 16890 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
983adant3 977 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V  /\  T  C_  V )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
102ocv2ss 16892 . . 3  |-  ( T 
C_  (  ._|_  `  S
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  (  ._|_  `  T ) )
11 sstr2 3347 . . 3  |-  ( S 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  (  ._|_  `  T )  ->  S  C_  (  ._|_  `  T ) ) )
129, 10, 11syl2im 36 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V  /\  T  C_  V )  ->  ( T  C_  (  ._|_  `  S
)  ->  S  C_  (  ._|_  `  T ) ) )
137, 12impbid 184 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V  /\  T  C_  V )  ->  ( S  C_  (  ._|_  `  T
)  <->  T  C_  (  ._|_  `  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ` cfv 5446   Basecbs 13461   PreHilcphl 16847   ocvcocv 16879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-ghm 14996  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-rnghom 15811  df-staf 15925  df-srng 15926  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-phl 16849  df-ocv 16882
  Copyright terms: Public domain W3C validator