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Theorem odadd1 15156
Description: The order of a product in an abelian group divides the LCM of the orders of the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odadd1.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
odadd1.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
odadd1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
) )

Proof of Theorem odadd1
StepHypRef Expression
1 ablgrp 15110 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2 odadd1.2 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odadd1.3 . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3grpcl 14511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
51, 4syl3an1 1215 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B )  e.  X )
6 odadd1.1 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
72, 6odcl 14867 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .+  B )  e.  X  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
85, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
98nn0zd 10131 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
102, 6odcl 14867 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
11103ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
1211nn0zd 10131 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
132, 6odcl 14867 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  X  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
14133ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
1514nn0zd 10131 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
1612, 15gcdcld 12713 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e. 
NN0 )
1716nn0zd 10131 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ )
189, 17zmulcld 10139 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  e.  ZZ )
1918adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
20 dvds0 12560 . . . 4  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  e.  ZZ  ->  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  0
)
2119, 20syl 15 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  0
)
22 gcdeq0 12716 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =  0  <-> 
( ( O `  A )  =  0  /\  ( O `  B )  =  0 ) ) )
2312, 15, 22syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0  <->  (
( O `  A
)  =  0  /\  ( O `  B
)  =  0 ) ) )
2423biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  =  0  /\  ( O `
 B )  =  0 ) )
25 oveq12 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( O `  A
)  =  0  /\  ( O `  B
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  ( 0  x.  0 ) )
26 0cn 8847 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2726mul01i 9018 . . . . 5  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
2825, 27syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  =  0  /\  ( O `  B
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  0 )
2924, 28syl 15 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  0 )
3021, 29breqtrrd 4065 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
31 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Abel )
3212adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
3315adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
34 gcddvds 12710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  B ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
) )
3635simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )
)
3717adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
38 dvdsmultr1 12579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  A )  ->  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
) ) )
3937, 32, 33, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) ) )
4036, 39mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
41 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =/=  0
)
4232, 33zmulcld 10139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
43 dvdsval2 12550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  <->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ ) )
4437, 41, 42, 43syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  <->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ ) )
4540, 44mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
46 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  A  e.  X
)
47 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  B  e.  X
)
48 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
492, 48, 3mulgdi 15142 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) B ) ) )
5031, 45, 46, 47, 49syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) B ) ) )
5135simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
)
52 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
5337, 41, 33, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
5451, 53mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
55 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
5632, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
5732zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
5833zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  CC )
5937zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  CC )
6057, 58, 59, 41divassd 9587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
6156, 60breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
6231, 1syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Grp )
63 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
642, 6, 48, 63oddvds 14878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
6562, 46, 45, 64syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
6661, 65mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
67 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
6837, 41, 32, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
6936, 68mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
70 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  B
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( O `  B
)  ||  ( ( O `  B )  x.  ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
7133, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  B
)  x.  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
7257, 58mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  =  ( ( O `  B
)  x.  ( O `
 A ) ) )
7372oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( ( O `  B )  x.  ( O `  A )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
7458, 57, 59, 41divassd 9587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  x.  ( O `  A ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  B
)  x.  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
7573, 74eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  B
)  x.  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) ) )
7671, 75breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
772, 6, 48, 63oddvds 14878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7862, 47, 45, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7976, 78mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
8066, 79oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( 0g `  G
)  .+  ( 0g `  G ) ) )
812, 63grpidcl 14526 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8262, 81syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
832, 3, 63grplid 14528 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  X )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
8462, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8580, 84eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( 0g `  G ) )
8650, 85eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
875adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( A  .+  B )  e.  X
)
882, 6, 48, 63oddvds 14878 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) (.g `  G ) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g
`  G ) ) )
8962, 87, 45, 88syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
9086, 89mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
919adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
92 dvdsmulcr 12574 . . . . 5  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
9391, 45, 37, 41, 92syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
9490, 93mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9542zcnd 10134 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  CC )
9695, 59, 41divcan1d 9553 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
9794, 96breqtrd 4063 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
9830, 97pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753    x. cmul 8758    / cdiv 9439   NN0cn0 9981   ZZcz 10040    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  .gcmg 14382   odcod 14856   Abelcabel 15106
This theorem is referenced by:  odadd  15158  torsubg  15162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-od 14860  df-cmn 15107  df-abl 15108
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