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Theorem odadd2 15464
Description: The order of a product in an abelian group is divisible by the LCM of the orders of the factors divided by the GCD. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odadd1.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
odadd1.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
odadd2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem odadd2
StepHypRef Expression
1 odadd1.2 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odadd1.1 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 15174 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
433ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
54nn0zd 10373 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
61, 2odcl 15174 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  X  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
763ad2ant3 980 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
87nn0zd 10373 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
95, 8zmulcld 10381 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
11 dvds0 12865 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  0 )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  0
)
13 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =  0 )
1413sq0id 11475 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  0 )
1514oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  0 ) )
16 ablgrp 15417 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
17 odadd1.3 . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
181, 17grpcl 14818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
1916, 18syl3an1 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B )  e.  X )
201, 2odcl 15174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .+  B )  e.  X  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
2221nn0zd 10373 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
2322adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
2423zcnd 10376 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  CC )
2524mul01d 9265 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  0 )  =  0 )
2615, 25eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  0 )
2712, 26breqtrrd 4238 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
285adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
298adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
3028, 29gcdcld 13018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10276 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  CC )
3231sqvald 11520 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
3332oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
34 gcddvds 13015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  B ) ) )
3528, 29, 34syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
) )
3635simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )
)
3730nn0zd 10373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
38 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =/=  0
)
39 dvdsval2 12855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4037, 38, 28, 39syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4136, 40mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
4241zcnd 10376 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  CC )
4335simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
)
44 dvdsval2 12855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4537, 38, 29, 44syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4643, 45mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
4746zcnd 10376 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  CC )
4842, 31, 47, 31mul4d 9278 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
4928zcnd 10376 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
5049, 31, 38divcan1d 9791 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( O `  A ) )
5129zcnd 10376 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  CC )
5251, 31, 38divcan1d 9791 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( O `  B ) )
5350, 52oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) ) )
5433, 48, 533eqtr2d 2474 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
5522adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
56 dvdsmul2 12872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) )
5755, 28, 56syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
58 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Abel )
5955, 29zmulcld 10381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
60 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  A  e.  X
)
61 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  B  e.  X
)
62 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
631, 62, 17mulgdi 15449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) ) )
6458, 59, 60, 61, 63syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) ) )
65 dvdsmul2 12872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  ( O `  B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )
6655, 29, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
6758, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Grp )
68 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
691, 2, 62, 68oddvds 15185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) ) )
7067, 61, 59, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7166, 70mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
7271oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( 0g
`  G ) ) )
7364, 72eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( 0g `  G ) ) )
74 dvdsmul1 12871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )
7555, 29, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
7619adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( A  .+  B )  e.  X
)
771, 2, 62, 68oddvds 15185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
7867, 76, 59, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
7975, 78mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
801, 62mulgcl 14907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
8167, 59, 60, 80syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
821, 17, 68grprid 14836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  e.  X )  ->  (
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) )
8367, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A ) )
8473, 79, 833eqtr3rd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
851, 2, 62, 68oddvds 15185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) ) )
8667, 60, 59, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
8784, 86mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
8855, 28zmulcld 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  e.  ZZ )
89 dvdsgcd 13043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  /\  ( O `  A ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  -> 
( O `  A
)  ||  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) ) ) )
9028, 88, 59, 89syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  /\  ( O `  A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) ) )
9157, 87, 90mp2and 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) )
9221adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  NN0 )
93 mulgcd 13046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  NN0  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  ( O `
 B )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  =  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
9492, 28, 29, 93syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  =  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9591, 94breqtrd 4236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9650, 95eqbrtrd 4232 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
97 dvdsmulcr 12879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
9841, 55, 37, 38, 97syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) ) )
9996, 98mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )
1001, 62, 17mulgdi 15449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
10158, 88, 60, 61, 100syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
1021, 2, 62, 68oddvds 15185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) ) )
10367, 60, 88, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
10457, 103mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
105104oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
106101, 105eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B ) ) )
107 dvdsmul1 12871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) )
10855, 28, 107syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
1091, 2, 62, 68oddvds 15185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
11067, 76, 88, 109syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
111108, 110mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
1121, 62mulgcl 14907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) (.g `  G ) B )  e.  X )
11367, 88, 61, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  e.  X )
1141, 17, 68grplid 14835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B )  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )
11567, 113, 114syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B ) )  =  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )
116106, 111, 1153eqtr3rd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
1171, 2, 62, 68oddvds 15185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) ) )
11867, 61, 88, 117syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
119116, 118mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
120 dvdsgcd 13043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  B
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  /\  ( O `  B ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  -> 
( O `  B
)  ||  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) ) ) )
12129, 88, 59, 120syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  /\  ( O `  B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) ) )
122119, 66, 121mp2and 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) )
123122, 94breqtrd 4236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
12452, 123eqbrtrd 4232 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
125 dvdsmulcr 12879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
12646, 55, 37, 38, 125syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) ) )
127124, 126mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )
12841, 46gcdcld 13018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  NN0 )
129128nn0cnd 10276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  CC )
130 ax-1cn 9048 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
131130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  1  e.  CC )
13231mulid2d 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )
13350, 52oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )
134 mulgcdr 13048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e. 
NN0 )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
13541, 46, 30, 134syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )
136132, 133, 1353eqtr2rd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
137129, 131, 31, 38, 136mulcan2ad 9658 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  1 )
138 coprmdvds2 13103 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  =  1 )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) )  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
13941, 46, 55, 137, 138syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) )  /\  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) )  ->  ( (
( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
14099, 127, 139mp2and 661 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  ||  ( O `
 ( A  .+  B ) ) )
14141, 46zmulcld 10381 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  ZZ )
142 zsqcl 11452 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  ->  ( (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  e.  ZZ )
14337, 142syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  e.  ZZ )
144 dvdsmulc 12877 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A 
.+  B ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  ||  ( O `
 ( A  .+  B ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) ) )
145141, 55, 143, 144syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) ) )
146140, 145mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
14754, 146eqbrtrrd 4234 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
14827, 147pm2.61dane 2682 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    / cdiv 9677   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ^cexp 11382    || cdivides 12852    gcd cgcd 13006   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685  .gcmg 14689   odcod 15163   Abelcabel 15413
This theorem is referenced by:  odadd  15465
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-od 15167  df-cmn 15414  df-abl 15415
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