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Theorem odadd2 15141
Description: The order of a product in an abelian group is divisible by the LCM of the orders of the factors divided by the GCD. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odadd1.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
odadd1.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
odadd2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem odadd2
StepHypRef Expression
1 odadd1.2 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odadd1.1 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 14851 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
433ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
54nn0zd 10115 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
61, 2odcl 14851 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  X  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
763ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
87nn0zd 10115 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
95, 8zmulcld 10123 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
11 dvds0 12544 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  0 )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  0
)
13 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =  0 )
1413oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
15 sq0 11195 . . . . . 6  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
1614, 15syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  0 )
1716oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  0 ) )
18 ablgrp 15094 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
19 odadd1.3 . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
201, 19grpcl 14495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
2118, 20syl3an1 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B )  e.  X )
221, 2odcl 14851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .+  B )  e.  X  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
2321, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
2423nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
2524adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
2625zcnd 10118 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  CC )
2726mul01d 9011 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  0 )  =  0 )
2817, 27eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  0 )
2912, 28breqtrrd 4049 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
305adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
318adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
3230, 31gcdcld 12697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  CC )
3433sqvald 11242 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
3534oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
36 gcddvds 12694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  B ) ) )
3730, 31, 36syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
) )
3837simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )
)
3932nn0zd 10115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
40 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =/=  0
)
41 dvdsval2 12534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4239, 40, 30, 41syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4338, 42mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
4443zcnd 10118 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  CC )
4537simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
)
46 dvdsval2 12534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4739, 40, 31, 46syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4845, 47mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
4948zcnd 10118 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  CC )
5044, 33, 49, 33mul4d 9024 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
5130zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
5251, 33, 40divcan1d 9537 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( O `  A ) )
5331zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  CC )
5453, 33, 40divcan1d 9537 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( O `  B ) )
5552, 54oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) ) )
5635, 50, 553eqtr2d 2321 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
5724adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
58 dvdsmul2 12551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) )
5957, 30, 58syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
60 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Abel )
6157, 31zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
62 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  A  e.  X
)
63 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  B  e.  X
)
64 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
651, 64, 19mulgdi 15126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) ) )
6660, 61, 62, 63, 65syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) ) )
67 dvdsmul2 12551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  ( O `  B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )
6857, 31, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
6960, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Grp )
70 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
711, 2, 64, 70oddvds 14862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) ) )
7269, 63, 61, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7368, 72mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
7473oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( 0g
`  G ) ) )
7566, 74eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( 0g `  G ) ) )
76 dvdsmul1 12550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )
7757, 31, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
7821adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( A  .+  B )  e.  X
)
791, 2, 64, 70oddvds 14862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
8069, 78, 61, 79syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
8177, 80mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
821, 64mulgcl 14584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
8369, 61, 62, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
841, 19, 70grprid 14513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  e.  X )  ->  (
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) )
8569, 83, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A ) )
8675, 81, 853eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
871, 2, 64, 70oddvds 14862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) ) )
8869, 62, 61, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
8986, 88mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
9057, 30zmulcld 10123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  e.  ZZ )
91 dvdsgcd 12722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  /\  ( O `  A ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  -> 
( O `  A
)  ||  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) ) ) )
9230, 90, 61, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  /\  ( O `  A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) ) )
9359, 89, 92mp2and 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) )
9423adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  NN0 )
95 mulgcd 12725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  NN0  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  ( O `
 B )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  =  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
9694, 30, 31, 95syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  =  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9793, 96breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9852, 97eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
99 dvdsmulcr 12558 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
10043, 57, 39, 40, 99syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) ) )
10198, 100mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )
1021, 64, 19mulgdi 15126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
10360, 90, 62, 63, 102syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
1041, 2, 64, 70oddvds 14862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) ) )
10569, 62, 90, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
10659, 105mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
107106oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
108103, 107eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B ) ) )
109 dvdsmul1 12550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) )
11057, 30, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
1111, 2, 64, 70oddvds 14862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
11269, 78, 90, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
113110, 112mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
1141, 64mulgcl 14584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) (.g `  G ) B )  e.  X )
11569, 90, 63, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  e.  X )
1161, 19, 70grplid 14512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B )  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )
11769, 115, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B ) )  =  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )
118108, 113, 1173eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
1191, 2, 64, 70oddvds 14862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) ) )
12069, 63, 90, 119syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
121118, 120mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
122 dvdsgcd 12722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  B
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  /\  ( O `  B ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  -> 
( O `  B
)  ||  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) ) ) )
12331, 90, 61, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  /\  ( O `  B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) ) )
124121, 68, 123mp2and 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) )
125124, 96breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
12654, 125eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
127 dvdsmulcr 12558 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
12848, 57, 39, 40, 127syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) ) )
129126, 128mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )
13033mulid2d 8853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )
13152, 54oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )
132 mulgcdr 12727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e. 
NN0 )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
13343, 48, 32, 132syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )
134130, 131, 1333eqtr2rd 2322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
13543, 48gcdcld 12697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  NN0 )
136135nn0cnd 10020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  CC )
137 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
138137a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  1  e.  CC )
139136, 138, 33, 40mulcan2d 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  gcd  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  1 ) )
140134, 139mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  1 )
141 coprmdvds2 12782 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  =  1 )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) )  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
14243, 48, 57, 140, 141syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) )  /\  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) )  ->  ( (
( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
143101, 129, 142mp2and 660 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  ||  ( O `
 ( A  .+  B ) ) )
14443, 48zmulcld 10123 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  ZZ )
145 zsqcl 11174 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  ->  ( (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  e.  ZZ )
14639, 145syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  e.  ZZ )
147 dvdsmulc 12556 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A 
.+  B ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  ||  ( O `
 ( A  .+  B ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) ) )
148144, 57, 146, 147syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) ) )
149143, 148mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
15056, 149eqbrtrrd 4045 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
15129, 150pm2.61dane 2524 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  .gcmg 14366   odcod 14840   Abelcabel 15090
This theorem is referenced by:  odadd  15142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-od 14844  df-cmn 15091  df-abl 15092
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