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Theorem odadd2 15157
Description: The order of a product in an abelian group is divisible by the LCM of the orders of the factors divided by the GCD. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odadd1.1  |-  O  =  ( od `  G
)
odadd1.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
odadd1.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
odadd2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem odadd2
StepHypRef Expression
1 odadd1.2 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odadd1.1 . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( od `  G
)
31, 2odcl 14867 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
433ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
54nn0zd 10131 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
61, 2odcl 14867 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  X  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
763ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  NN0 )
87nn0zd 10131 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
95, 8zmulcld 10139 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
11 dvds0 12560 . . . 4  |-  ( ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  0 )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  0
)
13 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =  0 )
1413oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
15 sq0 11211 . . . . . 6  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
1614, 15syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  0 )
1716oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  0 ) )
18 ablgrp 15110 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
19 odadd1.3 . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
201, 19grpcl 14511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
2118, 20syl3an1 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B )  e.  X )
221, 2odcl 14867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .+  B )  e.  X  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
2321, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e. 
NN0 )
2423nn0zd 10131 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
2524adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
2625zcnd 10134 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  CC )
2726mul01d 9027 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  0 )  =  0 )
2817, 27eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  0 )
2912, 28breqtrrd 4065 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
305adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
318adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  ZZ )
3230, 31gcdcld 12713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10036 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  CC )
3433sqvald 11258 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  =  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
3534oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) ) )
36 gcddvds 12710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  ||  ( O `  B ) ) )
3730, 31, 36syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  /\  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
) )
3837simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  A )
)
3932nn0zd 10131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
40 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  =/=  0
)
41 dvdsval2 12550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  A
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4239, 40, 30, 41syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  A )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4338, 42mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
4443zcnd 10134 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  CC )
4537simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  ||  ( O `  B )
)
46 dvdsval2 12550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0  /\  ( O `  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4739, 40, 31, 46syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  ||  ( O `  B )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ ) )
4845, 47mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ )
4948zcnd 10134 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  CC )
5044, 33, 49, 33mul4d 9040 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) ) )
5130zcnd 10134 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  e.  CC )
5251, 33, 40divcan1d 9553 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( O `  A ) )
5331zcnd 10134 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  e.  CC )
5453, 33, 40divcan1d 9553 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( O `  B ) )
5552, 54oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( O `  A )  x.  ( O `  B ) ) )
5635, 50, 553eqtr2d 2334 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) )
5724adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )
58 dvdsmul2 12567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  ( O `  A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) )
5957, 30, 58syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
60 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Abel )
6157, 31zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) )  e.  ZZ )
62 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  A  e.  X
)
63 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  B  e.  X
)
64 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
651, 64, 19mulgdi 15142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) ) )
6660, 61, 62, 63, 65syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) ) )
67 dvdsmul2 12567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  ( O `  B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )
6857, 31, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
6960, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  G  e.  Grp )
70 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
711, 2, 64, 70oddvds 14878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) ) )
7269, 63, 61, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
7368, 72mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
7473oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) (.g `  G ) A )  .+  ( 0g
`  G ) ) )
7566, 74eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( 0g `  G ) ) )
76 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  B )  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )
7757, 31, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
7821adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( A  .+  B )  e.  X
)
791, 2, 64, 70oddvds 14878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
8069, 78, 61, 79syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
8177, 80mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
821, 64mulgcl 14600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
8369, 61, 62, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  e.  X )
841, 19, 70grprid 14529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  e.  X )  ->  (
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) )
8569, 83, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A ) )
8675, 81, 853eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
871, 2, 64, 70oddvds 14878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) ) )
8869, 62, 61, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
8986, 88mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) ) )
9057, 30zmulcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  e.  ZZ )
91 dvdsgcd 12738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  /\  ( O `  A ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  -> 
( O `  A
)  ||  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) ) ) )
9230, 90, 61, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  /\  ( O `  A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) ) )
9359, 89, 92mp2and 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) )
9423adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  NN0 )
95 mulgcd 12741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  NN0  /\  ( O `  A )  e.  ZZ  /\  ( O `
 B )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  =  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
9694, 30, 31, 95syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  =  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9793, 96breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
9852, 97eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
99 dvdsmulcr 12574 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
10043, 57, 39, 40, 99syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) ) )
10198, 100mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )
1021, 64, 19mulgdi 15142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
10360, 90, 62, 63, 102syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
1041, 2, 64, 70oddvds 14878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) ) )
10569, 62, 90, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) A )  =  ( 0g `  G
) ) )
10659, 105mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) )
107106oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) A ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) ) )
108103, 107eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B ) ) )
109 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) )
11057, 30, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
1111, 2, 64, 70oddvds 14878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( A  .+  B )  e.  X  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( A  .+  B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) ) )
11269, 78, 90, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) ( A  .+  B ) )  =  ( 0g `  G
) ) )
113110, 112mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) ( A 
.+  B ) )  =  ( 0g `  G ) )
1141, 64mulgcl 14600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) ) (.g `  G ) B )  e.  X )
11569, 90, 63, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  e.  X )
1161, 19, 70grplid 14528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B )  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )  =  ( ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )
11769, 115, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B ) )  =  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B ) )
118108, 113, 1173eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  ( A 
.+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) )
1191, 2, 64, 70oddvds 14878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  <->  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) (.g `  G ) B )  =  ( 0g `  G ) ) )
12069, 63, 90, 119syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  <-> 
( ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) ) (.g `  G
) B )  =  ( 0g `  G
) ) )
121118, 120mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) ) )
122 dvdsgcd 12738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( O `  B
)  e.  ZZ  /\  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  /\  ( O `  B ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) )  -> 
( O `  B
)  ||  ( (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A ) )  gcd  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) ) ) )
12331, 90, 61, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  A
) )  /\  ( O `  B )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 B ) ) )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) ) )
124121, 68, 123mp2and 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( O `
 A ) )  gcd  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( O `  B
) ) ) )
125124, 96breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( O `  B )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
12654, 125eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ) )
127 dvdsmulcr 12574 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  <->  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
12848, 57, 39, 40, 127syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) ) )
129126, 128mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )
13033mulid2d 8869 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )
13152, 54oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )
132 mulgcdr 12743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e. 
NN0 )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
13343, 48, 32, 132syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )
134130, 131, 1333eqtr2rd 2335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )
13543, 48gcdcld 12713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  NN0 )
136135nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  CC )
137 ax-1cn 8811 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
138137a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  1  e.  CC )
139136, 138, 33, 40mulcan2d 9418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  =  ( 1  x.  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  <-> 
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  gcd  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  1 ) )
140134, 139mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  gcd  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  =  1 )
141 coprmdvds2 12798 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A  .+  B ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  gcd  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  =  1 )  ->  (
( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  ||  ( O `  ( A  .+  B ) )  /\  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) ) )  ->  (
( ( O `  A )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
14243, 48, 57, 140, 141syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) 
||  ( O `  ( A  .+  B ) )  /\  ( ( O `  B )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) )  ->  ( (
( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) ) ) )
143101, 129, 142mp2and 660 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  ||  ( O `
 ( A  .+  B ) ) )
14443, 48zmulcld 10139 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  ZZ )
145 zsqcl 11190 . . . . . 6  |-  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) )  e.  ZZ  ->  ( (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  e.  ZZ )
14639, 145syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 )  e.  ZZ )
147 dvdsmulc 12572 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( O `
 A )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) )  x.  (
( O `  B
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( O `  ( A 
.+  B ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  ||  ( O `
 ( A  .+  B ) )  -> 
( ( ( ( O `  A )  /  ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) )  x.  ( ( O `  B )  /  (
( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) )  ||  ( ( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A
)  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) ) )
148144, 57, 146, 147syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  ||  ( O `  ( A 
.+  B ) )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) ) )
149143, 148mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( ( ( O `  A
)  /  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) )  x.  ( ( O `
 B )  / 
( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
) ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
15056, 149eqbrtrrd 4061 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B )
)  =/=  0 )  ->  ( ( O `
 A )  x.  ( O `  B
) )  ||  (
( O `  ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `  A )  gcd  ( O `  B ) ) ^
2 ) ) )
15129, 150pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( O `  A
)  x.  ( O `
 B ) ) 
||  ( ( O `
 ( A  .+  B ) )  x.  ( ( ( O `
 A )  gcd  ( O `  B
) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    / cdiv 9439   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  .gcmg 14382   odcod 14856   Abelcabel 15106
This theorem is referenced by:  odadd  15158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-od 14860  df-cmn 15107  df-abl 15108
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