MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odbezout Unicode version

Theorem odbezout 15123
Description: If  N is coprime to the order of  A, there is a modular inverse  x to cancel multiplication by  N. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odmulgid.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odmulgid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
odbezout  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, N    x, O    x,  .x.    x, X

Proof of Theorem odbezout
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 962 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  N  e.  ZZ )
2 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  A  e.  X
)
3 odmulgid.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 odmulgid.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
53, 4odcl 15103 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
62, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
76nn0zd 10307 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
8 bezout 12971 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) ) )
91, 7, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) ) )
10 oveq1 6029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) )  =  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ->  ( (
( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) ) 
.x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
1110eqcoms 2392 . . . . . 6  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  ->  (
( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) )  .x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
12 simpll1 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
131adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
14 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  ZZ )
1513, 14zmulcld 10315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  x.  x
)  e.  ZZ )
162adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  X )
1716, 5syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN0 )
1817nn0zd 10307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  e.  ZZ )
19 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  ZZ )
2018, 19zmulcld 10315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ )
21 odmulgid.3 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  (.g
`  G )
22 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
233, 21, 22mulgdir 14844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( N  x.  x )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) ) 
.x.  A )  =  ( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) ) )
2412, 15, 20, 16, 23syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  .x.  A
)  =  ( ( ( N  x.  x
)  .x.  A )
( +g  `  G ) ( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
) ) )
2513zcnd 10310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
2614zcnd 10310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
2725, 26mulcomd 9044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  x.  x
)  =  ( x  x.  N ) )
2827oveq1d 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  x.  x )  .x.  A
)  =  ( ( x  x.  N ) 
.x.  A ) )
293, 21mulgass 14849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
x  x.  N ) 
.x.  A )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
3012, 14, 13, 16, 29syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  N )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
3128, 30eqtrd 2421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  x.  x )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
32 dvdsmul1 12800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  y ) )
3318, 19, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  y ) )
34 eqid 2389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
353, 4, 21, 34oddvds 15114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  A )  x.  y
)  <->  ( ( ( O `  A )  x.  y )  .x.  A )  =  ( 0g `  G ) ) )
3612, 16, 20, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  A
)  x.  y )  <-> 
( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
)  =  ( 0g
`  G ) ) )
3733, 36mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
)  =  ( 0g
`  G ) )
3831, 37oveq12d 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) )  =  ( ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G ) ( 0g `  G
) ) )
393, 21mulgcl 14836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
4012, 13, 16, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  .x.  A
)  e.  X )
413, 21mulgcl 14836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  A )  e.  X )  ->  (
x  .x.  ( N  .x.  A ) )  e.  X )
4212, 14, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  e.  X )
433, 22, 34grprid 14765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  e.  X )  -> 
( ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4412, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4538, 44eqtrd 2421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4624, 45eqtrd 2421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
47 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )
4847oveq1d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( 1  .x. 
A ) )
493, 21mulg1 14826 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
1  .x.  A )  =  A )
5016, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( 1  .x.  A
)  =  A )
5148, 50eqtrd 2421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  A )
5246, 51eqeq12d 2403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  .x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  .x.  A )  <->  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A ) )
5311, 52syl5ib 211 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5453anassrs 630 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5554rexlimdva 2775 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5655reximdva 2763 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A ) )
579, 56mpd 15 1  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930   NN0cn0 10155   ZZcz 10216    || cdivides 12781    gcd cgcd 12935   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   0gc0g 13652   Grpcgrp 14614  .gcmg 14618   odcod 15092
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  15562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-dvds 12782  df-gcd 12936  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-mulg 14744  df-od 15096
  Copyright terms: Public domain W3C validator