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Theorem odbezout 14887
Description: If  N is coprime to the order of  A, there is a modular inverse  x to cancel multiplication by  N. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odmulgid.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odmulgid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
odbezout  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, N    x, O    x,  .x.    x, X

Proof of Theorem odbezout
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 960 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  N  e.  ZZ )
2 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  A  e.  X
)
3 odmulgid.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 odmulgid.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
53, 4odcl 14867 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
62, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
76nn0zd 10131 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
8 bezout 12737 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) ) )
91, 7, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) ) )
10 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) )  =  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ->  ( (
( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) ) 
.x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
1110eqcoms 2299 . . . . . 6  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  ->  (
( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) )  .x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
12 simpll1 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
131adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
14 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  ZZ )
1513, 14zmulcld 10139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  x.  x
)  e.  ZZ )
162adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  X )
1716, 5syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN0 )
1817nn0zd 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  e.  ZZ )
19 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  ZZ )
2018, 19zmulcld 10139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ )
21 odmulgid.3 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  (.g
`  G )
22 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
233, 21, 22mulgdir 14608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( N  x.  x )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) ) 
.x.  A )  =  ( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) ) )
2412, 15, 20, 16, 23syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  .x.  A
)  =  ( ( ( N  x.  x
)  .x.  A )
( +g  `  G ) ( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
) ) )
2513zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
2614zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
2725, 26mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  x.  x
)  =  ( x  x.  N ) )
2827oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  x.  x )  .x.  A
)  =  ( ( x  x.  N ) 
.x.  A ) )
293, 21mulgass 14613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
x  x.  N ) 
.x.  A )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
3012, 14, 13, 16, 29syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  N )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
3128, 30eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  x.  x )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
32 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  y ) )
3318, 19, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  y ) )
34 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
353, 4, 21, 34oddvds 14878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  A )  x.  y
)  <->  ( ( ( O `  A )  x.  y )  .x.  A )  =  ( 0g `  G ) ) )
3612, 16, 20, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  A
)  x.  y )  <-> 
( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
)  =  ( 0g
`  G ) ) )
3733, 36mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
)  =  ( 0g
`  G ) )
3831, 37oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) )  =  ( ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G ) ( 0g `  G
) ) )
393, 21mulgcl 14600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
4012, 13, 16, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  .x.  A
)  e.  X )
413, 21mulgcl 14600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  A )  e.  X )  ->  (
x  .x.  ( N  .x.  A ) )  e.  X )
4212, 14, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  e.  X )
433, 22, 34grprid 14529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  e.  X )  -> 
( ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4412, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4538, 44eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4624, 45eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
47 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )
4847oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( 1  .x. 
A ) )
493, 21mulg1 14590 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
1  .x.  A )  =  A )
5016, 49syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( 1  .x.  A
)  =  A )
5148, 50eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  A )
5246, 51eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  .x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  .x.  A )  <->  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A ) )
5311, 52syl5ib 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5453anassrs 629 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5554rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5655reximdva 2668 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A ) )
579, 56mpd 14 1  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   NN0cn0 9981   ZZcz 10040    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  .gcmg 14382   odcod 14856
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  15326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-od 14860
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