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Theorem odbezout 14871
Description: If  N is coprime to the order of  A, there is a modular inverse  x to cancel multiplication by  N. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odmulgid.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odmulgid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
odbezout  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, N    x, O    x,  .x.    x, X

Proof of Theorem odbezout
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 960 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  N  e.  ZZ )
2 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  A  e.  X
)
3 odmulgid.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 odmulgid.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
53, 4odcl 14851 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
62, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
76nn0zd 10115 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( O `  A )  e.  ZZ )
8 bezout 12721 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( O `  A )  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) ) )
91, 7, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) ) )
10 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) )  =  ( N  gcd  ( O `  A ) )  ->  ( (
( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) ) 
.x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
1110eqcoms 2286 . . . . . 6  |-  ( ( N  gcd  ( O `
 A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  ->  (
( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A
)  x.  y ) )  .x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
12 simpll1 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
131adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
14 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  ZZ )
1513, 14zmulcld 10123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  x.  x
)  e.  ZZ )
162adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  X )
1716, 5syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN0 )
1817nn0zd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  e.  ZZ )
19 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  ZZ )
2018, 19zmulcld 10123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ )
21 odmulgid.3 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  (.g
`  G )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
233, 21, 22mulgdir 14592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( N  x.  x )  e.  ZZ  /\  ( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( N  x.  x
)  +  ( ( O `  A )  x.  y ) ) 
.x.  A )  =  ( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) ) )
2412, 15, 20, 16, 23syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  .x.  A
)  =  ( ( ( N  x.  x
)  .x.  A )
( +g  `  G ) ( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
) ) )
2513zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
2614zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
2725, 26mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  x.  x
)  =  ( x  x.  N ) )
2827oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  x.  x )  .x.  A
)  =  ( ( x  x.  N ) 
.x.  A ) )
293, 21mulgass 14597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
x  x.  N ) 
.x.  A )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
3012, 14, 13, 16, 29syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  N )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
3128, 30eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  x.  x )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
32 dvdsmul1 12550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  y ) )
3318, 19, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( O `  A
)  ||  ( ( O `  A )  x.  y ) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
353, 4, 21, 34oddvds 14862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( ( O `  A )  x.  y
)  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( ( O `  A )  x.  y
)  <->  ( ( ( O `  A )  x.  y )  .x.  A )  =  ( 0g `  G ) ) )
3612, 16, 20, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  A )  ||  (
( O `  A
)  x.  y )  <-> 
( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
)  =  ( 0g
`  G ) ) )
3733, 36mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( O `
 A )  x.  y )  .x.  A
)  =  ( 0g
`  G ) )
3831, 37oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) )  =  ( ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G ) ( 0g `  G
) ) )
393, 21mulgcl 14584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
4012, 13, 16, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  .x.  A
)  e.  X )
413, 21mulgcl 14584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  A )  e.  X )  ->  (
x  .x.  ( N  .x.  A ) )  e.  X )
4212, 14, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  e.  X )
433, 22, 34grprid 14513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  e.  X )  -> 
( ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4412, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) ( +g  `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4538, 44eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( ( ( O `  A
)  x.  y ) 
.x.  A ) )  =  ( x  .x.  ( N  .x.  A ) ) )
4624, 45eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `  A )  x.  y
) )  .x.  A
)  =  ( x 
.x.  ( N  .x.  A ) ) )
47 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )
4847oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( 1  .x. 
A ) )
493, 21mulg1 14574 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
1  .x.  A )  =  A )
5016, 49syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( 1  .x.  A
)  =  A )
5148, 50eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  A )
5246, 51eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  .x.  A )  =  ( ( N  gcd  ( O `  A )
)  .x.  A )  <->  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A ) )
5311, 52syl5ib 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5453anassrs 629 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( N  gcd  ( O `  A )
)  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5554rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  1 )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  -> 
( x  .x.  ( N  .x.  A ) )  =  A ) )
5655reximdva 2655 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( N  gcd  ( O `  A ) )  =  ( ( N  x.  x )  +  ( ( O `
 A )  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A ) )
579, 56mpd 14 1  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  gcd  ( O `  A )
)  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  ( x  .x.  ( N 
.x.  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   NN0cn0 9965   ZZcz 10024    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  .gcmg 14366   odcod 14840
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  15310
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-od 14844
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