MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcl Unicode version

Theorem odcl 15137
Description: The order of a group element is always a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
odcl  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )

Proof of Theorem odcl
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcl.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2412 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 odcl.2 . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
5 eqid 2412 . . . . 5  |-  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  G ) A )  =  ( 0g
`  G ) }  =  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  G ) A )  =  ( 0g
`  G ) }
61, 2, 3, 4, 5odlem1 15136 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  (
( ( O `  A )  =  0  /\  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  G ) A )  =  ( 0g
`  G ) }  =  (/) )  \/  ( O `  A )  e.  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) } ) )
7 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( ( O `  A
)  =  0  /\ 
{ y  e.  NN  |  ( y (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) }  =  (/) )  ->  ( O `  A )  =  0 )
8 elrabi 3058 . . . . 5  |-  ( ( O `  A )  e.  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  G ) A )  =  ( 0g
`  G ) }  ->  ( O `  A )  e.  NN )
97, 8orim12i 503 . . . 4  |-  ( ( ( ( O `  A )  =  0  /\  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  G ) A )  =  ( 0g
`  G ) }  =  (/) )  \/  ( O `  A )  e.  { y  e.  NN  |  ( y (.g `  G ) A )  =  ( 0g `  G ) } )  ->  ( ( O `
 A )  =  0  \/  ( O `
 A )  e.  NN ) )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
)  =  0  \/  ( O `  A
)  e.  NN ) )
1110orcomd 378 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  (
( O `  A
)  e.  NN  \/  ( O `  A )  =  0 ) )
12 elnn0 10187 . 2  |-  ( ( O `  A )  e.  NN0  <->  ( ( O `
 A )  e.  NN  \/  ( O `
 A )  =  0 ) )
1311, 12sylibr 204 1  |-  ( A  e.  X  ->  ( O `  A )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2678   (/)c0 3596   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   0cc0 8954   NNcn 9964   NN0cn0 10185   Basecbs 13432   0gc0g 13686  .gcmg 14652   odcod 15126
This theorem is referenced by:  odf  15138  mndodcongi  15144  oddvdsnn0  15145  oddvds  15148  odeq  15151  odval2  15152  odmulg2  15154  odmulg  15155  odmulgeq  15156  odbezout  15157  odinv  15160  odf1  15161  dfod2  15163  odcl2  15164  odhash2  15172  odhash3  15173  gexnnod  15185  odadd1  15426  odadd2  15427  odadd  15428  gexexlem  15430  gexex  15431  torsubg  15432  iscygodd  15461  lt6abl  15467  ablfacrp  15587  ablfac1b  15591  ablfac1eu  15594  pgpfac1lem2  15596  chrcl  16770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-od 15130
  Copyright terms: Public domain W3C validator