MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcong Structured version   Unicode version

Theorem odcong 15180
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
odcong  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )

Proof of Theorem odcong
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10312 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
2 odcl.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 odcl.2 . . . 4  |-  O  =  ( od `  G
)
4 odid.3 . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
5 odid.4 . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
62, 3, 4, 5oddvds 15178 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  -  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( O `
 A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  .0.  ) )
71, 6syl3an3 1219 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  .0.  ) )
8 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
9 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
10 simp3r 986 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
11 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  X )
12 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
132, 4, 12mulgsubdir 14914 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  ( ( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) ) )
148, 9, 10, 11, 13syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( M  -  N )  .x.  A )  =  ( ( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) ) )
1514eqeq1d 2444 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( M  -  N
)  .x.  A )  =  .0.  <->  ( ( M 
.x.  A ) (
-g `  G )
( N  .x.  A
) )  =  .0.  ) )
162, 4mulgcl 14900 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( M  .x.  A )  e.  X )
178, 9, 11, 16syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( M  .x.  A )  e.  X
)
182, 4mulgcl 14900 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X )
198, 10, 11, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( N  .x.  A )  e.  X
)
202, 5, 12grpsubeq0 14868 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  A )  e.  X  /\  ( N  .x.  A )  e.  X )  ->  (
( ( M  .x.  A ) ( -g `  G ) ( N 
.x.  A ) )  =  .0.  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
218, 17, 19, 20syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( M  .x.  A
) ( -g `  G
) ( N  .x.  A ) )  =  .0.  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
227, 15, 213bitrd 271 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( O `  A )  ||  ( M  -  N
)  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4205   ` cfv 5447  (class class class)co 6074    - cmin 9284   ZZcz 10275    || cdivides 12845   Basecbs 13462   0gc0g 13716   Grpcgrp 14678   -gcsg 14681  .gcmg 14682   odcod 15156
This theorem is referenced by:  odf1  15191  dfod2  15193  odf1o1  15199  odf1o2  15200  chrcong  16803  cygznlem1  16840  dchrptlem1  21041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-sup 7439  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-rp 10606  df-fz 11037  df-fl 11195  df-mod 11244  df-seq 11317  df-exp 11376  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-dvds 12846  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mulg 14808  df-od 15160
  Copyright terms: Public domain W3C validator