MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddprm Unicode version

Theorem oddprm 12868
Description: A prime not equal to  2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
oddprm  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )

Proof of Theorem oddprm
StepHypRef Expression
1 eldifi 3298 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  Prime )
2 prmz 12762 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  ZZ )
4 eldifsni 3750 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  =/=  2 )
54necomd 2529 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  =/=  N )
65neneqd 2462 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  2  =  N
)
7 2z 10054 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
8 uzid 10242 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 dvdsprm 12778 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  Prime )  ->  (
2  ||  N  <->  2  =  N ) )
119, 1, 10sylancr 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  N  <->  2  =  N ) )
126, 11mtbird 292 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  2  ||  N )
13 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
14 2prm 12774 . . . . . 6  |-  2  e.  Prime
15 nprmdvds1 12790 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  -.  2  ||  1
17 omoe 12865 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
1813, 16, 17mpanr12 666 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
193, 12, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  ||  ( N  -  1 ) )
20 prmnn 12761 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
21 nnm1nn0 10005 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
221, 20, 213syl 18 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN0 )
23 nn0z 10046 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
24 2ne0 9829 . . . . 5  |-  2  =/=  0
25 dvdsval2 12534 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
267, 24, 25mp3an12 1267 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  -  1 )  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
2722, 23, 263syl 18 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
2819, 27mpbid 201 . 2  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
29 prmuz2 12776 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
301, 29syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
31 uz2m1nn 10292 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
32 nnre 9753 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
33 nngt0 9775 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( N  -  1 ) )
34 2re 9815 . . . . 5  |-  2  e.  RR
35 2pos 9828 . . . . 5  |-  0  <  2
36 divgt0 9624 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
3734, 35, 36mpanr12 666 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
3832, 33, 37syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )
3930, 31, 383syl 18 . 2  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
40 elnnz 10034 . 2  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
4128, 39, 40sylanbrc 645 1  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  4sqlem19  13010  lgslem1  20535  lgslem4  20538  lgsval2lem  20545  lgsvalmod  20554  lgsmod  20560  lgsdirprm  20568  lgsne0  20572  lgsqrlem1  20580  lgsqrlem2  20581  lgsqrlem3  20582  lgsqrlem4  20583  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem4  20591  lgseisen  20592  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  lgsquadlem3  20595  m1lgs  20601
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator