MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddprm Unicode version

Theorem oddprm 12884
Description: A prime not equal to  2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
oddprm  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )

Proof of Theorem oddprm
StepHypRef Expression
1 eldifi 3311 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  Prime )
2 prmz 12778 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  ZZ )
4 eldifsni 3763 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  =/=  2 )
54necomd 2542 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  =/=  N )
65neneqd 2475 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  2  =  N
)
7 2z 10070 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
8 uzid 10258 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 dvdsprm 12794 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  Prime )  ->  (
2  ||  N  <->  2  =  N ) )
119, 1, 10sylancr 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  N  <->  2  =  N ) )
126, 11mtbird 292 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  2  ||  N )
13 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
14 2prm 12790 . . . . . 6  |-  2  e.  Prime
15 nprmdvds1 12806 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  -.  2  ||  1
17 omoe 12881 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
1813, 16, 17mpanr12 666 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
193, 12, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  ||  ( N  -  1 ) )
20 prmnn 12777 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
21 nnm1nn0 10021 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
221, 20, 213syl 18 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN0 )
23 nn0z 10062 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
24 2ne0 9845 . . . . 5  |-  2  =/=  0
25 dvdsval2 12550 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
267, 24, 25mp3an12 1267 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  -  1 )  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
2722, 23, 263syl 18 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
2819, 27mpbid 201 . 2  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
29 prmuz2 12792 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
301, 29syl 15 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
31 uz2m1nn 10308 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
32 nnre 9769 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
33 nngt0 9791 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( N  -  1 ) )
34 2re 9831 . . . . 5  |-  2  e.  RR
35 2pos 9844 . . . . 5  |-  0  <  2
36 divgt0 9640 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
3734, 35, 36mpanr12 666 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
3832, 33, 37syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )
3930, 31, 383syl 18 . 2  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
40 elnnz 10050 . 2  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
4128, 39, 40sylanbrc 645 1  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    < clt 8883    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246    || cdivides 12547   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  4sqlem19  13026  lgslem1  20551  lgslem4  20554  lgsval2lem  20561  lgsvalmod  20570  lgsmod  20576  lgsdirprm  20584  lgsne0  20588  lgsqrlem1  20596  lgsqrlem2  20597  lgsqrlem3  20598  lgsqrlem4  20599  lgseisenlem1  20604  lgseisenlem2  20605  lgseisenlem4  20607  lgseisen  20608  lgsquadlem1  20609  lgsquadlem2  20610  lgsquadlem3  20611  m1lgs  20617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-dvds 12548  df-prm 12775
  Copyright terms: Public domain W3C validator