MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddprm Structured version   Unicode version

Theorem oddprm 13191
Description: A prime not equal to  2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
oddprm  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )

Proof of Theorem oddprm
StepHypRef Expression
1 eldifi 3471 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  Prime )
2 prmz 13085 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  e.  ZZ )
4 eldifsni 3930 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  N  =/=  2 )
54necomd 2689 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  =/=  N )
65neneqd 2619 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  2  =  N
)
7 2z 10314 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
8 uzid 10502 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 dvdsprm 13101 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  Prime )  ->  (
2  ||  N  <->  2  =  N ) )
119, 1, 10sylancr 646 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  N  <->  2  =  N ) )
126, 11mtbird 294 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  2  ||  N )
13 1z 10313 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
14 2prm 13097 . . . . . 6  |-  2  e.  Prime
15 nprmdvds1 13113 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . 5  |-  -.  2  ||  1
17 omoe 13188 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  N
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
1813, 16, 17mpanr12 668 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  2  ||  ( N  -  1 ) )
193, 12, 18syl2anc 644 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  ||  ( N  -  1 ) )
20 prmnn 13084 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
21 nnm1nn0 10263 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
221, 20, 213syl 19 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN0 )
23 nn0z 10306 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
24 2ne0 10085 . . . . 5  |-  2  =/=  0
25 dvdsval2 12857 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
267, 24, 25mp3an12 1270 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( N  -  1 )  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
2722, 23, 263syl 19 . . 3  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
2819, 27mpbid 203 . 2  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
29 prmuz2 13099 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
30 uz2m1nn 10552 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
31 nnre 10009 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
32 nngt0 10031 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( N  -  1 ) )
33 2re 10071 . . . . 5  |-  2  e.  RR
34 2pos 10084 . . . . 5  |-  0  <  2
35 divgt0 9880 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
3633, 34, 35mpanr12 668 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
3731, 32, 36syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( ( N  - 
1 )  /  2
) )
381, 29, 30, 374syl 20 . 2  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
0  <  ( ( N  -  1 )  /  2 ) )
39 elnnz 10294 . 2  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  ( (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( N  - 
1 )  /  2
) ) )
4028, 38, 39sylanbrc 647 1  |-  ( N  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   {csn 3816   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    < clt 9122    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490    || cdivides 12854   Primecprime 13081
This theorem is referenced by:  4sqlem19  13333  lgslem1  21082  lgslem4  21085  lgsval2lem  21092  lgsvalmod  21101  lgsmod  21107  lgsdirprm  21115  lgsne0  21119  lgsqrlem1  21127  lgsqrlem2  21128  lgsqrlem3  21129  lgsqrlem4  21130  lgseisenlem1  21135  lgseisenlem2  21136  lgseisenlem4  21138  lgseisen  21139  lgsquadlem1  21140  lgsquadlem2  21141  lgsquadlem3  21142  m1lgs  21148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-dvds 12855  df-prm 13082
  Copyright terms: Public domain W3C validator