MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvds2 Structured version   Unicode version

Theorem oddvds2 15202
Description: The order of an element of a finite group divides the order (cardinality) of the group. Corollary of Lagrange's theorem for the order of a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl2.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl2.2  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
oddvds2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  ||  ( # `  X
) )

Proof of Theorem oddvds2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcl2.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 odcl2.2 . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
4 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )
51, 2, 3, 4dfod2 15200 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A
)  =  if ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin , 
( # `  ran  (
x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) ,  0 ) )
653adant2 976 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  =  if ( ran  (
x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin ,  ( # `  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) ) ,  0 ) )
7 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  X  e.  Fin )
81, 3, 4cycsubgcl 14966 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) )
983adant2 976 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) ) )
109simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
111subgss 14945 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  C_  X
)
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) 
C_  X )
13 ssfi 7329 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) 
C_  X )  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  Fin )
147, 12, 13syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  Fin )
15 iftrue 3745 . . . 4  |-  ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) )  e.  Fin  ->  if ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin , 
( # `  ran  (
x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) ,  0 )  =  (
# `  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  if ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  Fin , 
( # `  ran  (
x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) ,  0 )  =  (
# `  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) ) )
176, 16eqtrd 2468 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  =  ( # `  ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G
) A ) ) ) )
181lagsubg 15002 . . 3  |-  ( ( ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) )  ||  ( # `
 X ) )
1910, 7, 18syl2anc 643 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( # `
 ran  ( x  e.  ZZ  |->  ( x (.g `  G ) A ) ) )  ||  ( # `
 X ) )
2017, 19eqbrtrd 4232 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  A  e.  X )  ->  ( O `  A )  ||  ( # `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   0cc0 8990   ZZcz 10282   #chash 11618    || cdivides 12852   Basecbs 13469   Grpcgrp 14685  .gcmg 14689  SubGrpcsubg 14938   odcod 15163
This theorem is referenced by:  odsubdvds  15205  gexcl2  15223  gexdvds3  15224  pgpfi1  15229  prmcyg  15503  lt6abl  15504  ablfacrp  15624  pgpfac1lem2  15633  dchrfi  21039  dchrabs  21044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-eqg 14943  df-od 15167
  Copyright terms: Public domain W3C validator